Очень плоские морфизмы алгебраических многообразий

Определение очень плоского модуля над коммутативным кольцом можно найти в старом постинге http://posic.livejournal.com/780534.html . Морфизм схем f: Y → X называется очень плоским, если для любых аффинных открытых подсхем V ⊂ Y и U ⊂ X, таких что f(V) ⊂ U, кольцо O(V) является очень плоским модулем над кольцом O(U). Например, морфизм аффинных схем Spec S → Spec R очень плоский тогда и только тогда, когда для любого элемента s ∈ S кольцо S[s⁻¹] является очень плоским R-модулем.

Гипотеза. Всякий плоский морфизм конечного типа между нетеровыми схемами является очень плоским.

Пользуясь результатами раздела 1.2 контрагерентного препринта, нетрудно показать, что свойство морфизма схем быть очень плоским локально как по X, так и по Y, а также что класс очень плоских морфизмов замкнут относительно композиций. При этом ниоткуда не следует, что свойство морфизма схем быть очень плоским сохраняется, например, при замене базы. В остальном, вот несколько примеров элементарных рассуждений, которыми пока что ограничиваются мои знания об очень плоских морфизмах.

Пример 1. Разветвленное накрытие Spec C[x] → Spec C[t], определенное правилом t = x², является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: проверим еще более конкретное утверждение, что кольцо C[x][(x−1)⁻¹] является очень плоским модулем над C[x²]. В самом деле, имеется точная последовательность 0 → C[x] → C[x][(x−1)⁻¹] ⊕ C[x][(x+1)⁻¹] → C[x][(x²−1)⁻¹] → 0, в которой C[t]-модуль C[x] очень плоский потому, что проективный, а C[t]-модуль C[x][(x²−1)⁻¹] очень плоский потому, что проективный над C[t][(t−1)⁻¹] (напомним, что конечно порожденный плоский модуль над нетеровым кольцом проективен). Остается воспользоваться фактом, что класс очень плоских R-модулей замкнут относительно расширений.

Пример 2. Проекция A_C² → A_C¹ является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: проверим еще более конкретное утверждение, что кольцо C[x,y][(xy−1)⁻¹] является очень плоским модулем над C[x]. Представим кольцо C[x,y][(xy−1)⁻¹] как прямой предел копий свободного модуля с одной образующей над кольцом C[x,y], вкладывающихся друг в друга отображенем умножения на xy−1. Заметим, что как кольцо C[x,y], так и факторкольцо C[x,y]/(xy−1) являются очень плоскими C[x]-модулями, и вспомним, что класс очень плоских R-модулей замкнут относительно трансфинитно-итерированных расширений.

Пример 3. Проекция A_C³ → A_C² является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: пусть имеется аффинное открытое подмножество U в A³; нужно показать, что O(U) является очень плоским модулем над O(A²). Пусть Z -- структура приведенной замкнутой подсхемы на дополнении к U в A³. Хотелось бы воспользоваться локальностью по базе, чтобы избавиться от вертикальных прямых в Z (выкинув из A² точки, полные прообразы которых лежат вне U, а потом перейдя к аффинному покрытию получившегося открытого подмножества). Потом воспользоваться локальностью по тотальному пространству, чтобы избавиться от точек Z, в которых проекция Z → A² не является плоским морфизмом (покрыв дополнение к таким точкам в A³ объединением дополнений к конечным наборам параллельных наклонных плоскостей, например, что-нибудь в этом роде).

Тогда оставшаяся (открытая) часть Z отображается в A² конечным плоским морфизмом. Хочется использовать аргумент из примера 1, чтобы показать, что функции на оставшейся части Z образуют очень плоский модуль над O(A²), а потом -- аргумент из примера 2, чтобы заключить, что функции на оставшейся части U тоже образуют такой модуль.

Пример 4. Для любой гладкой комплексной кривой X, проекция A_X¹ → X является очень плоским морфизмом.

Идея доказательства: можно локально вложить X в A², а потом воспользоваться (несложным, кажется) фактом, что класс очень плоских морфизмов замкнут относительно замен базы при замкнутых вложениях, и примером 3.