D-модули и DG-модули над комплексом де Рама на инд-про-схемах

Как известно, есть две версии производной категории D-модулей на гладком многообразии -- обычная и "пополненная вдоль нулевого сечения кокасательного расслоения". Попросту, это ко/контрапроизводная и обычная производная категории DG-модулей над комплексом де Рама.

Когда многообразие становится бесконечномерным, пучок колец дифференциальных операторов оказывается странным объектом. Скажем, векторные поля, они же дифференцирования -- это такие отображения из функций в функции. На про-конечномерном про-многообразии они оказываются несущими топологию пространства всех линейных отображений из одного бесконечномерного векторного пространства в другое (что слегка чересчур для пространства образующих ассоциативного кольца). На инд-многообразии это будет что-то еще более сложное.

Видимо, лучше говорить о комплексе де Рама (обладающем, помимо прочего, приятным свойством функториальности по отношению морфизмам многообразий). На инд-нульмерном инд-многообразии, этот комплекс несет топологию, приблизительно, компактного топологического векторного пространства (двойственного к дискретному). Видимо, это значит, что его надо рассматривать как такую DG-коалгебру. Т.е., правильные категории модулей над ним -- это модули кручения и контрамодули. У которых естественно брать ко/контрапроизводные категории, и можно надеяться, что они будут эквивалентны между собой по ко-контра соответствию.

На про-конечномерном про-многообразии, комплекс де Рама дискретен. Аналогично предыдущему это, видимо, значит, что его надо рассматривать как DG-алгебру, т.е., правильная категория модулей над ним -- это обычные (DG-)модули. У которых естественно брать обычную производную категорию (что означает пополенную производную категорию D-модулей). На конечномерном многообразии имеется выбор между двумя подходами.

В полубесконечной ситуации теперь естественно было бы иметь инд-про-схему, гладко расслоенную над гладкой инд-схемой нильпотентного типа. Комплекс де Рама на ней мыслился бы условно как "полуалгебра" над "коалгеброй де Рама базовой инд-схемы". Подходящими модульными категориями были бы "полумодули" (квазикогерентные пучки модулей кокручения в направлении инд-схемы и просто модулей в про-схемных направлениях) и "полуконтрамодули" (контрагерентные копучки контрамодулей в направлении инд-схемы и просто модулей в про-схемных направлениях).

У этих категорий DG-модулей имело бы смысл рассматривать полупроизводные категории (относительно базовой инд-схемы). Это были бы такие смеси обычных производных категорий D-модулей в инд-схемных направлениях и производных категорий D-модулей, пополненных вдоль нулевого сечения кокасательного расслоения, в про-схемных направлениях. Более явно, это мыслилось бы как пополнение производной категории D-модулей на инд-про-схеме вдоль подмногообразия в ее кокасательном расслоении, состоящего из ковекторов, аннулирующих касательные пространства к слоям.

Обычные (наивно определяемые как объекты двойного прямого предела категорий) D-модули на инд-про-схеме должны были бы представлять (некоторые, но далеко не все) объекты этой полупроизводной категории. Может быть, это были бы, грубо-приблизительно, ее компактные образующие...

Наконец, полубесконечные (ко)гомологии всего этого хозяйства (определяемые, скажем пока за отсутствием лучших идей, просто через ко-контра соответствие) могли бы быть вычисляемы полубесконечным комплексом де Рама (как его определяют К.-В., например).

P.S. Отметим, что понятие "инд-нетеровой инд-схемы нильпотентного типа" включает возможность наличия ненильпотентных переменных, образующих любую нетерову схему. Т.е, даже предполагая возможность расслоить интересующую нас инд-про-схему инд-про-конечного типа над инд-схемой инд-конечного и нильпотентного типа, остается еще некий произвол в смысле того, на какую сторону (инд- или про-) отправить то или иное конечное множество направлений/переменных. Конструкция полупроизводной категории к этому чувствительна. Все это -- обычная для полубесконечных (ко)гомологий и т.п. ситуация с необходимостью выбора "нулевого уровня" (компактно-открытой подалгебры в тейтовской алгебре Ли, компактно-открытой подгруппы в локально компактной вполне несвязной группе, и т.п.)