Очень плоские контрамодули - 1

Если в классической гомологической алгебре ключевую техническую роль играют проективные и инъективные резольвенты, то в том, что Енокс называет "относительной" гомологической алгеброй (а я бы, видимо, называл "полубесконечной"), аналогичное место занимает то, что теперь принято называть "полными теориями кокручения".

Термин этот обозначает ситуацию, когда в абелевой или точной категории имеются два дополнительных класса объектов -- так сказать, "отчасти проективных" и "отчасти инъективных", так что можно вычислять функтор Ext, заменив одновременно первый аргумент на его "отчасти проективную" резольвенту, а второй -- на "отчасти инъективную". Условие существования достаточного количества объектов в двух дополнительных классах (свойство полноты "теории кокручения"), если его правильно сформулировать, оказывается сильным и нетривиальным, и из него много чего можно вывести.

Классический пример пары дополнительных классов объектов получается, если взять за "отчасти проективные" модули над кольцом -- все плоские модули (а "отчасти инъективными" тогда уж будут те, которые будут -- они, собственно, и называются "модулями кокручения"). Другие примеры возникают в полубесконечной гомологической алгебре -- там "отчасти проективными" будут модули, проективные вдоль одной группы переменных в кольце, а "отчасти инъективными" -- инъективные вдоль дополнительной группы (остальных) переменных.

В частности, теории кокручения играют ключевую роль в науке про контрагерентные копучки. При этом если в ситуации над каким-нибудь стеком в плоской топологии естественно использовать теорию плоских модулей и модулей кокручения, то работая над схемой, можно увеличить общность, заменив произвольные плоские модули на их небольшой подкласс (минимальный, содержащий свободные модули и сохраняемый операцией взятия прямого образа с открытого вложения аффинных схем, наряду с обычными гомологическими операциями).

Дополнительные классы соответствующей полной теории кокручения, имеющей место в абелевой категории модулей над произвольным коммутативным кольцом, называются классами "очень плоских" и "контраприспособленных" модулей. Все очень плоские модули имеют проективную размерность, не превосходящую единицы, а свойство контраприспособленности, соответственно, сохраняется при переходе к любому фактормодулю.