Искривленные А_бесконечность алгебры над топологическими локальными кольцами

1. Свободные контрамодули над топологическими локальными
кольцами.

Пусть R -- топологическое коммутативное кольцо, в котором
открытые идеалы образуют базу окрестностей нуля. Мы будем
предполагать, что R полно и отделимо (т.е. изоморфно
отображается в проективный предел своих факторколец по
открытым идеалам). Читатель ничего не потеряет, предполагая,
что R имеет счетную базу окрестностей нуля.

Будем называть кольцо R топологическим локальным кольцом,
если оно локально как абстрактное коммутативное кольцо,
и его максимальный идеал m топологически нильпотентен
(т.е., каждый открытый идеал содержит некоторую степень m).
Типичным примером такого кольца, который нас будет
интересовать, является пополнение (дискретного)
коммутативного кольца по степеням его максимального идеала.

Топологическое кольцо R называется проартиновым, если его
дискретные факторкольца являются артиновыми кольцами.
Например, полное нетерово локальное кольцо является
проартиновым; двойственное векторное пространство к любой
коммутативной коалгебре над полем является проартиновым
топологическим кольцом.

Каждому (абстрактному) множеству X сопоставим множество R[[X]]
всех формальных линейных комбинаций элементов X
с коэффициентами из R, образующими сходящееся к нулю семейство
(т.е., любая окрестность нуля в R содержит все коэффициенты,
кроме конечного числа). Тогда естественное вложение X\to R
и отображение "раскрытия скобок" R[[R[[X]]]] \to R[[X]] задают
структуру монады на функторе X \mapsto R[[X]]. Модули над
этой монадой называются контрамодулями над R. Нетрудно
проверить, что R-контрамодули образуют абелеву категорию,
снабженную точным, консервативным забывающим функтором
R-contra \to R-mod, сохраняющим бесконечные произведения.
В категории R-contra достаточно много проективных объектов,
которыми являются свободные контрамодули R[[X]] и их прямые
слагаемые. В категории R-contra также существуют бесконечные
прямые суммы, которые можно построить для свободных
контрамодулей по правилу \bigoplus_\alpha R[[X_\alpha]] =
\R[[\coprod_\alpha X_\alpha]] и для произвольных контрамодулей
с помощью представления их в виде коядер морфизмов свободных.

Лемма I.1: над топологическим локальным кольцом R, классы
проективных и свободных контрамодулей совпадают.

Доказательство: сопоставим каждому R-контрамодулю M его фактор
P/mP по образу mP отображения контрадействия m[[P]] \to P.
Тогда P/mP является векторным пространством над полем R/m.
Например, для свободного контрамодуля F = R[[X]] таким образом
получается векторное пространство F/mF = k[[X]] с базисом X.
Выбрав базис X в пространстве P/mP, получаем отображение
R-контрамодулей R[[X]] \to P/mP, которое в силу проективности
R[[X]] можно поднять до отображения контрамодулей R[[X]] \to P.
Если P проективен, то последнее отображение является проекцией
на прямое слагаемое. Если Q -- соответствующее ядро, то
Q/mQ = 0, откуда Q = 0 по лемме Накаямы для контрамодулей над
топологически нильпотентными кольцами (см. [Appendix A]).

Лемма I.2: класс проективных контрамодулей над проартиновым
кольцом замкнут относительно бесконечных произведений.

Доказательство: поскольку всякое проартиново кольцо является
произведением проартиновых локальных колец, достаточно
рассмотреть случай кольца R последнего типа. Пусть
Q = \prod_\alpha R[[X_\alpha]] -- произведение свободных
контрамодулей; тогда Q/mQ = \prod_\alpha k[[X_\alpha]].
Выберем базис X в последнем векторном пространстве,
и рассмотрим какое-нибудь из соответствующих отображений
R[[X]] \to Q. Каждому открытому идеалу I в R и R-контрамодулю
P сопоставим фактор P/IP по образу IP отображения
контрадействия I[[P]] \to P. Тогда R[[X]] есть проективный
предел контрамодулей R[[X]]/IR[[X]] = R/I[[X]] и Q есть
проективный предел контрамодулей \prod_\alpha R/I[[X_\alpha]],
так что достаточно убедиться, что отображение R/I[[X]] \to
\prod R/I[[X_\alpha]] является изоморфизмом. Но произведение
проективных модулей над артиновым кольцом проективно
(стандартный факт, см. [Bass] и [Chase]), откуда желаемое
утверждение немедленно следует (см. предыдущее доказательство).

Для любого топологического кольца R и любых R-контрамодулей
M и N, множество всех гомоморфизмов R-контрамодулей M \to N
является R-контрамодулем относительно операции поточечного
бесконечного суммирования гомоморфизмов. Мы будем обозначать
этот контрамодуль через Hom^R(M,N). В частности, для любого
множества X и любого R-контрамодуля N имеется естественный
изоморфизм R-контрамодулей Hom^R(R[[X]],N) = \prod_{x\in X} N.
Таким образом, из Леммы I.2 следует, что функтор внутренних
гомоморфизмов Hom^R сохраняет класс проективных
R-контрамодулей, если топологическое кольцо R проартиново.
Нетрудно видеть, что функтор внутренних гомоморфизмов
контрамодулей переводит бесконечные прямые суммы по первому
аргументу и бесконечные произведения по второму аргументу
в бесконечные произведения.

Для любого топологического кольца R, определим операцию
тензорного произведения \ot^R на категории R-контрамодулей
следующим образом. Для свободных контрамодулей R[[X]] и R[[Y]],
по определению, R[[X]]\ot^R R[[Y]] = R[[X\times Y]]. Имеется
очевидное естественное отображение R[[X]]\ot_R R[[Y]] \to
R[[X]]\ot^R R[[Y]], где \ot_R oбозначает тензорное произведение
абстрактных R-модулей. Пусть теперь f: R[[X']] \to R[[X'']] и
g: R[[Y']] \to R[[Y'']] -- гомоморфизмы R-контрамодулей.
Задание гомоморфизмов f и g эквивалентно заданию семейства
элементов f(x'), x'\in X' в R[[X'']] и g(y'), y'\in Y' в R[[Y'']].
Теперь семейство элементов f(x')\ot g(y') в R[[X''\times Y'']]
задает гомоморфизм R-контрамодулей R[[X']]\ot^R R[[Y']] \to
R[[X'']\ot^R R[[Y'']]. Нетрудно проверить, что таким образом
мы построили аддитивный функтор ^R на категории свободных
R-контрамодулей, принимающий значения в той же категории.
Поскольку свободных контрамодулей достаточно много, функтор этот
однозначно продолжается до точного справа функтора на абелевой
категории произвольных R-контрамодулей.

Функтор тензорного произведения свободных контрамодулей
ассоциативен, коммутативен и сохраняет бесконечные прямые суммы,
откуда следует, что теми же свойствами обладает функтор
тензорного произведения произвольных контрамодулей. В частности,
функтор тензорного умножения на свободный контрамодуль R[[X]]\ot^R
есть функтор прямой суммы X копий произвольного R-контрамодуля.
Функторы \ot^R и Hom^R согласованы обычным образом, т.е. имеется
естественный изоморфизм Hom^R(L, Hom^R(M,N)) = Hom^R(M\ot^R L, N)
для любых R-контрамодулей L, M и N. Опять-таки, достаточно
построить такой функториальный изоморфизм для свободных
R-контрамодулей L и M, что несложно сделать.

Каждому контрамодулю P над топологическим кольцом R и замкнутому
идеалу J в P сопоставим фактор P/JP по образу JP отображения
контрадействия J[[P]] \to P, рассматриваемый естественным образом
как контрамодуль над топологическим кольцом R/J (предположим
сначала, что R/J полно). Функтор P \mapsto P/JP сопряжен слева
к функтору ограничения скаляров R/J-contra \to R-contra, так что
он точен справа и сохраняет бесконечные прямые суммы. Легко
видеть, что он переводит свободный R-контрамодуль R[[X]]
в свободный R/J-контрамодуль R/J[[X]] и коммутирует с тензорными
произведениями.

Из доказательства леммы I.2 нетрудно заключить, что функтор
P \mapsto P/JP сохраняет прямые произведения свободных
контрамодулей над проартиновым кольцом R. В самом деле,
достаточно рассмотреть случай, когда кольцо R топологически
локально. В этом случае мы имеем \prod_\alpha R/I[[X_\alpha]]
= R/I[[X]] для всех открытых идеалов I в R, откуда, переходя
к проективному пределу, \prod_\alpha R/J[[X_\alpha]] =
R/J[[X]] и \prod_\alpha R[[X_\alpha]] = R[[X]], и остается
заметить, что R[[X]]/JR[[X]] = R/J[[X]]. Представляя
произвольные R-контрамодули в виде коядер морфизмов свободных,
мы убеждаемся в том, что функтор P \mapsto P/JP сохраняет
прямые произведения произвольных контрамодулей над проартиновым
кольцом R. Следовательно, он коммутирует также с функтором
внутренних гомоморфизмов из проективных контрамодулей над
проартиновым кольцом R.