Коллоквиум в Тель-Авиве

Что такое формальная схема? Формальная окрестность/формальное пополнение в алгебраической геометрии -- это такой аналог трубчатой окрестности в дифференциальной геометрии. Одно из различий в том, что в алгебраической геометрии нет трубчатых окрестностей конечного радиуса, а есть только бесконечно малого. Другое -- в том, что алгебраический подход дает автоматическую легкость работы с многообразиями с особенностями.

В алгебраической геометрии, пространства описываются кольцами функций на них. Особенно это верно для аффинных многообразий, и мы ограничимся для простоты формальными пополнениями замкнутых подмногообразий аффинных многообразий. Простейший релевантный для нас пример трубчатой окрестности в математике -- это ε-круг с центром в нуле на комплексной плоскости C. Кольцо голоморфных функций на круге {z: |z| < ε} есть кольцо степенных рядов ∑_n=0^∞ a_nzⁿ, где верхний предел lim sup_n→∞ ⁿ√a_n не превосходит 1/ε.

В алгебраической геометрии, вместо поля комплексных чисел у нас произвольное основное поле k, на котором никакой топологии или метрики нет, так что остается только рассматривать "формальные" степенные ряды ∑_n=0^∞ a_nxⁿ, где a_n -- произвольные элементы поля k. Формальная окрестность точки ноль на аффинной прямой A¹_k над полем k -- это условное, в кавычках "множество всех x, настолько малых, что ∑_n^∞ a_nxⁿ сходится для любых a_n ∈ k".

Прежде чем перейти к более интересным примерам формальных пополнений, поговорим просто об аффинных многообразиях. Аффинное алгебраическое многообразие X -- это, примерно, множество нулей системы полиномиальных уравнений f₁(x₁,…,x_n) = … = f_m(x₁,…,x_n) = 0 в n-мерном аффинном пространстве Aⁿ_k над полем k. Аффинным алгебраическим многообразиям над полем k соответствуют конечно-порожденные коммутативные алгебры над k.

Самому аффинному пространству Aⁿ_k соответствует кольцо многочленов k[x₁,…,x_n]. А замкнутому подмногообразию X ⊂ Aⁿ_k, заданному уравнениями f₁, …, f_m, соответствует факторкольцо R = k[x₁,…,x_n]/(f₁,…,f_m) этого кольца многочленов по идеалу, порожденному f₁, …, f_m. Этот идеал состоит из многочленов (= полиномиальных функций на аффинном пространстве Aⁿ_k), зануляющихся на X; а факторкольцо R кольца многочленов по нему -- это кольцо полиномиальных функций на X. Общепринятые обозначения: X = Spec R и R = O(X).

Приведем два примера алгебраических многообразий: один обыкновенный, другой необычный. Обыкновенный пример: одно уравнение на две переменных x³ = y² задает кривую на плоскости с особой точкой типа "касп" в точке (0,0); график ее в вещественных координатах выглядит как такая кривая с возвратной точкой. Соответствующая конечно-порожденная коммутативная алгебра -- это факторкольцо k[x,y]/(x³−y²). Обозначим эту кривую через C = Spec k[x,y]/(x³−y²).

Необычный пример: одно уравнение xⁿ = 0 на одну переменную x задает многообразие Spec k[x]/(xⁿ), которое можно описать условно, в кавычках, как "множество всех x, настолько малых, что xⁿ = 0".

Вернемся теперь к нашей формальной окрестности точки на аффинной прямой. Кольцо k[[x]] тесно связано с последовательностью колец k[x]/(xⁿ), а именно, оно является их, как говорят алгебраисты, "проективным пределом". Вообще, если имеется последовательность алгебраических структур (групп, абелевых групп, колец, ... -- в интересующем нас случае это будет последовательность колец) и отображений между ними, бьющих в обратную сторону

R₁ ← R₂ ← R₃ ← R₄ ← R₅ ← …

то проективным пределом proj lim_n R_n называется множество всех последовательностей элементов (r_n∈R_n)_n∈N, таких что p_n(r_n+1) = r_n для всех n, где p_n обозначает отображение R_n+1 → R_n. Так вот, кольцо k[[x]] есть проективный предел колец k[x]/(xⁿ) с естественными (сюръективными) отображениями между ними.

Теперь, соответствие между пространствами и кольцами функций на них обращает стрелки -- отображению между пространствами в одну сторону соответствует отображение обратного образа функций, бьющее в противоположную сторону. Поэтому проективному пределу колец k[x]/(xⁿ) соответствует то, что называется "индуктивный предел" -- предел по отображениям вперед в последовательности -- соответствующих многообразий. В данном случае, это будет просто объединение.

В результате, пространство, отвечающее кольцу k[[x]] -- оно называется "формальный спектр" и обозначается Spf или Specf k[[x]] -- оказывается объединением ∪_n Spec k[x]/(xⁿ). Таким образом мы получаем (условно, в кавычках) описание формальной окрестности нуля на аффинной прямой как "множества всех x, для которых существует n, такое что xⁿ = 0". Это объясняет, каким образом все ряды ∑_n=0^∞ a_nxⁿ с произвольными коэффициентами из поля k (в том числе, такие, как ∑_n=0^∞ n! xⁿ, например) ухитряются сходиться для таких x.

Рассмотрим теперь более интересные примеры формальных окрестностей. Пусть D обозначает кривую на плоскости, заданную уравнением от двух переменных x²(x+1) = y². Это такая кривая с самопересечением, образующим петлю. Представим себе, что такая кривая нарисована на листе бумаги, и мы вырезали из листа бумаги ножницами узкую полоску вокруг этой кривой (не разрезая саму кривую). Это называется формальной окрестностью кривой D на плоскости A²_k.

Речь идет о множестве точек плоскости (x,y), для которых x²(x+1) − y² приблизительно равно нулю. Следуя подходу, развитому выше, проинтерпретируем последнее условие, по-прежнему в кавычках, как "существует n, такое что (x²(x+1)−y²)ⁿ = 0". Теперь мы можем описать нашу формальную окрестность как формальный спектр соответствующего проективного предела факторколец, Specf proj lim_n k[x,y]/((x²(x+1)−y²)ⁿ).

Мы не будем обсуждать определение того, что значит "формальный спектр" или "формальная схема", оно сложно и не нужно нам здесь. Важно, что мы пришли к кольцу proj lim_n k[x,y]/((x²(x+1)−y²)ⁿ); оно, в отличие от многого предыдущего, имеет вполне корректный строгий смысл (согласно определению проективного предела выше), и оно нам нужно.

Другой пример: вернемся к кривой C, заданной уравнением x³ = y². Нас интересует формальная окрестность особой точки (0,0) внутри этой кривой. Это множество точек плоскости (x,y), для которых x³ − y² = 0 в точности, в то время, как x и у приблизительно равны нулю. Следуя тому же подходу, это пространство описывается как Specf proj lim_n k[x,y]/(x³−y², xⁿ, yⁿ).

Вопрос: почему нельзя просто рассмотреть локализацию кольца функций на кривой C по соответствующему идеалу? Ответ: ну, локализация и пополнение -- это разные кольца. Но геометрически-наглядная разница вот в чем. Представим себе нашу кривую сделанной из куска бесконечно тонкой, бесконечно длинной проволоки. Возьмем ножницы, которыми режут проволоку, и вырежем маленький кусочек вокруг особой точки (0,0). Это пополнение, формальная окрестность точки. А локализация -- это как если взять ту же кривую и повыкидывать из нее одну за другой все точки, кроме (0,0). Точки мы повыкидывали, но кривая "в целом", как бы общий каркас ее, shape, сохраняется при локализации -- но не при пополнении.

Итак, если аффинные алгебраические многообразия соответствуют конечно-порожденным коммутативным алгебрам, то их формальные пополнения (формальные окрестности замкнутых алгебраических подмногообразий в аффинных алгебраических многообразиях) соответствуют адическим пополнениям конечно-порожденных коммутативных алгебр. Адическим пополнением кольца R по идеалу I называется проективный предел R_I^ = lim_n R/Iⁿ.

На кольце R_I^ есть топология: вообще, любой проективный предел (множеств) proj lim_n R_n есть подмножество в декартовом произведении ∏_n R_n; наделив каждое множество R_n дискретной топологией, рассмотрим тихоновскую топологию на их произведении. В этой топологии proj lim_n R_n оказывается замкнутым подмножеством в ∏_n R_n, и мы наделяем это подмножество индуцированной топологией.

Эквивалентным образом, последовательность элементов f_j сходится к элементу f в R_I^, если для любого n существует j₀ такое, что для всех j > j₀ разность f_j − f принадлежит IⁿR_I^.

... Потратив таким образом большую часть отведенного часа на разжевывание формальных схем незнакомой с алгебраической геометрией аудитории, я потом уже довольно быстро и местами несколько скомканно изложил постановку задачи "сопоставить формальной аффинной схеме абелеву категорию модулей":

- в дифференциальной геометрии, с многобразием связывают категорию векторных расслоений на нем;
- в алгебраической геометрии, с многообразием связывают категорию квазикогерентных пучков на нем;
- в частности, в случае аффинного алгебраического многообразия Spec R, категория квазикогерентных пучков -- это просто категория модулей над R

(категория модулей/квазикогерентных пучков даже в чем-то лучше, чем категория векторных расслоений, поскольку является абелевой категорией -- ядра и образы гомоморфизмов и фактормодули по подмодулям в ней определены и ведут себя так же, как в категории абелевых групп (отсюда и термин "абелева"));

- какую же категорию модулей сопоставить формальной аффинной схеме Specf R_I^ ?

и ее возможные решения:

(1) абелева категория R_I^-Mod всех R_I^-модулей слишком большая и не знает про топологию на R_I^ ;

(2) категория R_I^-модулей I-кручения, состоящая из всех R_I^-модулей (или можно просто говорить R-модулей, это ввиду следующего условия все равно) M, для которых для любого m ∈ M найдется натуральное n, для которого Iⁿm = 0 -- хорошая категория модулей на формальной схеме, но, например, само кольцо R_I^ ее объектом не является -- хотелось бы иметь еще категорию, состоящую из модулей, которые ощущаются как "полные", а не "дискретные", и которой принадлежит модуль R_I^;

(3) категория I-адически полных и отделимых R_I^-модулей P, т.е., таких, для которых естественное отображение в проективный предел P → proj lim_n P/IⁿP является изоморфизмом -- как класс или категория модулей, плохо себя ведет -- как подкатегория в R_I^-Mod, не замкнута относительно операции перехода к фактормодулю по подмодулю из того же класса, а сама по себе -- не абелева категория;

(4) категория R_I-контрамодулей определяется на традиционном уже по нынешним временам пути "алгебраизации анализа" как некоторая категория модулей с операциями бесконечного суммирования, подчиненным естественным аксиомам -- эта категория абелева и хорошая.

Определение категории контрамодулей (над кольцом формальных степенных рядов k[[x]]; и далее над произвольным полным, отделимым топологическим кольцом, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля) я растолковал, в очень первом приближении, в конце лекции; но здесь воспроизводить его, пожалуй, уже не буду (см. мой обзор http://arxiv.org/abs/1503.00991 , раздел 2.1, например -- или можно начать с разделов 1.3-1.4 и плюс еще 1.5-1.6).