Add(M) и проективные контрамодули

Пусть A -- абелева категория с произвольными прямыми суммами и κ -- регулярный кардинал. Объект B из A называется слабо κ-порожденным, если всякий морфизм из B в прямую сумму семейства объектов в A факторизуется через вложение прямой суммы подсемейства мощности, меньшей κ. Всякий факторобъект слабо κ-порожденного объекта слабо κ-порожден.

Категория A называется локально слабо κ-порожденной, если она имеет множество образующих, состоящее из слабо κ-порожденных объектов. Слабо ω-порожденный объект называется слабо конечно-порожденным, и локально слабо ω-порожденная категория называется локально слабо конечно-порожденной.

В локально слабо конечно-порожденной абелевой категории A, для любого семейства объектов M_i, естественное отображение ∐_i M_i → ∏_i M_i инъективно. В самом деле, никакое ненулевое отображение B → ∐_i M_i из слабо конечно-порожденного объекта B не может аннулироваться композицией с ∐_i M_i → ∏_i M_i.

Пусть A -- локально слабо конечно-порожденная абелева категория и M -- произвольный объект в A. Введем на кольце R = Hom_A(M,M)^op следующую топологию: базу окрестностей нуля образуют (правые в R, или левые в Hom) идеалы, состоящие из всех эндоморфизмов, зануляющихся в ограничении на какой-нибудь выбранный слабо конечно-порожденный подобъект в M. Утверждается, что с этой топологией R является полным, отделимым топологическим кольцом.

В самом деле, чтобы проверить, что умножение в R непрерывно в этой топологии, достаточно убедиться, что для любого идеала правого идеала I = Ann(E) ⊂ R, где E ⊂ M -- слабо конечно-порожденный подобъект, и любого элемента r ∈ R, найдется аналогичный открытый идеал J = Ann(F), для которого rJ ⊂ I. Для этого достаточно взять F = Er.

Топология отделима, поскольку всякий эндоморфизм, аннулирующий все слабо конечно-порожденные подобъекты, зануляется. Чтобы показать, что она полна, рассмотрим элемент проективного предела факторгрупп R/Ann(E) по всем слабо конечно-порожденным подобъектам E ⊂ M. Ввиду точной последовательности 0 → Ann(E) = A(M/E,M) → R = A(M,M) → A(E,M), группа R/Ann(E) является подгруппой в A(E,M). Таким образом, элемент проективного предела lim_E R/Ann(E) задает согласованную систему морфизмов f_E: E → M, определенных на всех слабо конечно-порожденных подобъектах в M. Остается показать, что такая система морфизмов продолжается до морфизма h: M → M.

В самом деле, рассмотрим естественный эпиморфизм p: ⊕_E E → M. Согласованная система морфизмов E → M определяет морфизм f: ⊕_E E → M. Требуется показать, что морфизм f аннулирует ядро эпиморфизма p. Пусть b: B → ⊕_E E -- морфизм из слабо конечно-порожденного объекта, аннулирующий эпиморфизм p. Достаточно проверить, что b аннулирует f, т.е. fb = 0.

Морфизм b пропускается через прямую сумму конечного числа объектов E₁, …, E_n. Обозначим через b' соответствующий морфизм B → ⊕_i=1ⁿ E_i. Пусть F -- сумма подобъектов E_i в M; тогда F -- тоже слабо конечно-порожденный подобъект в M. Пусть q обозначает естественный эпиморфизм ⊕_i=1ⁿ E_i → F. Тогда qb' = 0, поскольку pb = 0. Пусть g: ⊕_i=1ⁿ E_i → M обозначает морфизм с компонентами f_Ei. Тогда g = f_Fq, так как система морфизмов (f_E) согласованная. Следовательно, gb' = 0, откуда fb = 0.