Место категорий контрамодулей в рамках общей теории категорий - 3

Предположим теперь, что категория K обладает тем свойством, что естественное отображение из прямой суммы любого семейства проективных объектов в ней в их прямое произведение инъективно; эквивалентным образом, достаточно потребовать, чтобы прямая сумма любого количества копий объекта P инъективно отображалась в их прямое произведение. Тогда множество всех морфизмов из P в S-индексированную прямую сумму его копий P^(S) вкладывается в множество всех морфизмов из P и S-индексированное прямое произведение его копий P^S. Последнее множество биективно S-индексированному произведению копий множества всех морфизмов P → P. Обозначим множество/кольцо, противоположное к кольцу Hom_K(P,P), через R.

Теперь для любого множества S множество T(S) является подмножеством в R^S. Операция на T-алгебрах, связанная с элементом множества T(S), интерпретируется теперь как операция бесконечного суммирования семейств элементов, индексированных S, с коэффициентами, принадлежащими R. Семейства, коэффициентов из R, для которых в монаде T присутствует такая операция бесконечного суммирования (т.е., S-индексированные семейства элементов из R, принадлежащие подмножеству T(S) ⊂ R^S), мы будем называть T-допустимыми. В интересующей нас ситуации с абелевой категорией K, всякое конечное семейство элементов из R T-допустимо.

Задание абелевой категории K с проективным объектом P (или монады T на категории множеств) с такими свойствами эквивалентно заданию следующего набора данных:

- некоммутативное кольцо R (с единицей);
- для каждого множества S, подмножество (на самом деле R-R-подбимодуль) T-допустимых семейств коэффициентов T(S) ⊂ R^S;
- отображение "суммы всех коэффициентов в семействе" ∑: T(S) → R;

удовлетворяющего следующим условиям:

- все конечные семейства коэффициентов допустимы, т.е., T(S) = R^S для конечных множеств S;
- любое подсемейство допустимого семейства допустимо;
- если семейство r_ij (где множество пар индексов (i,j) отображается произвольным образом в множество индексов i), то семейство сумм ∑_j r_ij (занумерованное множеством индексов i) тоже допустимо;
- сумма сумм ∑_i ∑_j r_ij равна сумме по двухиндексному семейству ∑_i,j r_ij;
- для любого допустимого семейства коэффициентов r_i и любых коэффициентов s_ij, образующих допустимые семейства с индексами j для каждого фиксированного i, семейство произведений r_is_ij допустимо;
- сумма сумм ∑_i r_i ∑_j s_ij равна двухиндексной сумме ∑_i,j r_is_ij.

Из первых четырех условий следует, в частности, что никакой ненулевой элемент кольца R не может повторяться в допустимом семействе коэффициентов больше, чем конечное число раз. Таким образом, мощность множества ненулевых коэффициентов в допустимом семействе не может превосходить мощности кольца R. Из сказанного следует, что всякая абелева категория К с проективной образующей P, такой что отображения из прямых сумм копий P в их прямые произведения инъективны, является локально представимой.

Объекты абелевой категории K описываются как множества X, такие что для любого семейства элементов x_i ∈ X и любого допустимого семейства коэффициентов r_i ∈ R задан элемент ∑_i r_ix</sub>i</sub> ∈ X. При этом должны удовлетворяться уравнения, подобные уравнениям из определения контрамодуля в разделе 1.2 статьи про слабо искривленные алгебры.

Естественный класс примеров описанной структуры связан с топологическими кольцами. Для любого полного, отделимого кольца R, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, можно определить "допустимые семейства коэффициентов" как семейства, сходящиеся к нулю в топологии R, и отображения суммы коэффициентов -- как пределы сумм конечных подсемейств в топологии R. Соответствующая абелева категория K называется категорией левых R-контрамодулей.

Я пока не понимаю, можно ли как-нибудь доказать, что все структуры "допустимых семейств коэффициентов с операцией бесконечной суммы" происходят из топологий на кольце R. Можно попробовать восстановить топологию на R, определив окрестность нуля как такое подмножество, что всякое допустимое семейство попадает внутрь этого подмножества целиком, за исключением конечного множества элементов. Но не видно, откуда можно было бы заключить, что такая топология на R отделима, например.