И еще раз о контрамодульной лемме Накаямы

В развитие постинга http://posic.livejournal.com/1228377.html

Вот еще одна формулировка контрамодульной леммы Накаямы, неожиданным образом не вытекающая из формулировки в постинге по ссылке, но требующая чуть более сложного доказательства.

Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов, и пусть J₁, J₂, … -- последовательность замкнутых правых идеалов (или даже просто замкнутых абелевых подгрупп) в R, сходящаяся к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы J_n). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения J_n[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.

Дело в том, что поскольку идеалы J_n не двусторонние, а только правые, из того, что их последовательность сходится к нулю, нельзя вывести, что последовательность произведений J₁, J₁J₂, J₁J₂J₃, … сходится к нулю в топологии R. Поэтому нужно другое доказательство, или скорее, более деликатный вариант того же доказательства.