R-мультипликативные системы - 3

Пусть, как раньше, R -- полное, отделимое топологическое ассоциативное кольцо с единицей, имеющее счетную базу окрестностей нуля, состоящую из открытых правых идеалов. Обозначим через A(R) предаддитивную категорию, объектами которой являются фактормодули R/I кольца R по его открытым правым идеалам, а морфизмами -- гомоморфизмы правых R-модулей R/I → R/J. Нетрудно заметить, что "левые R-мультипликативные системы" в смысле предыдущих двух постингов суть ни что иное, как левые A(R)-модули, т.е., другими словами, ковариантные аддитивные функторы из категории A(R) в абелевы группы. Нам понадобятся также правые R-мультипликативные системы (т.е., правые A(R)-модули, или контравариантные функторы из A(R) в абелевы группы).

Правой R-мультипликативной системой M называется правило, сопоставляющее каждому открытому правому идеалу I ⊂ R абелеву группу M_I и каждому элементу r ∈ R и паре открытых правых идеалов I, J ⊂ R, таких что rI ⊂ J, отображение n(r,I,J): M_J → M_I таким образом, что

- если rI ⊂ J и sI ⊂ J (для двух открытых правых идеалов I, J ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то сумма отображений n_M(r,I,J) + n_M(s,I,J) равна n_M(r+s,I,J)
- отображения n_M(1,I,I) -- тождественные;
- если rI ⊂ J и sJ ⊂ K (для трех открытых правых идеалов I, J, K ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то композиция n_M(r,I,J)n_M(s,J,K) равна n_M(sr,I,K)
- группа M_R, соответствующая единичному идеалу I = R ⊂ R, равна нулю.

В предположении первых трех условий, четвертое эквивалентно тому, что отображение n_M(r,I,J) зануляется для всех r, принадлежащих J.

С правой R-мультипликативной системой M можно связать индуктивную систему (диаграмму) абелевых групп M_I, индексированных частично упорядоченным множеством открытых правых идеалов в R с отношением включения; отображениями в проективной системе являются операторы n_M(1,I,J). На индуктивном пределе indlim_I M_I правой R-мультипликативной системы M имеется естественная структура дискретного правого модуля над топологическим кольцом R. Наоборот, для любого правого R-модуля N подгруппы M_I = N_(I) элементов, аннулируемых идеалами I в N, образуют правую R-мультипликативную систему. Функтор системы аннулируемых подгрупп ann: discr-R → msys-R сопряжен справа к функтору индуктивного предела indlim: msys-R → discr-R.

Правая R-мультипликативная система M называется строгой, если для любой пары вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R отображение n_M(1,I,J): M_J → M_I индуцирует изоморфизм между группой M_J и подгруппой группы M_I, равной пересечению ядер всех отображений n_M(r,K,I), где r ∈ J и K ⊂ R -- правый идеал в R, такой что rK ⊂ I.

Лемма. (1) Для любого дискретного правого R-модуля N, отображение сопряжения indlim(ann(N)) → N является изоморфизмом дискретных правых R-модулей.
(1) Для любого дискретного правого R-модуля N, правая R-мультипликативная система ann(N) (с компонентами ann(N)_I = N_(I)) является строгой.
(2) Для любой строгой правой R-мультипликативной системы M, отображение сопряжения ann(indlim(N)) → N является изоморфизмом правых R-мультипликативных систем.

Таким образом, вполне строгий функтор ann: discr-R → msys-R отождествляет категорию дискретных правых R-модулей с полной подкатегорией строгих правых R-мультипликативных систем в msys-R.

Категорию строгих правых R-мультипликативных систем можно отождествить с категорией контравариантных функторов из категории discr-R в абелевы группы, переводящих прямые пределы в обратные. Эта последняя категория есть некая аддитивная версия категории пучков абелевых групп на "аддитивном сайте" discr-R. Утверждение, что пучок абелевых групп на discr-R однозначно восстанавливается по своему ограничению на полную подкатегорию дискретных модулей с одной образующей A(R) ⊂ discr-R, причем для того, чтобы правый A(R)-модуль продолжался до пучка на всей категории discr-R достаточно, чтобы он удовлетворял аксиоме пучка для покрытий, описанных в определении понятия "строгой правой мультипликативной R-системы", сродни утверждению, что пучки достаточно определять на базе топологии, и аксиому пучка проверять для покрытий открытого множества из базы другими открытыми множествами из базы. Сформулированная выше лемма в этом контексте превращается в частный случай теоремы о существовании сопряженного функтора, утверждающий, что всякий контравариантный функтор из discr-R в абелевы группы, переводящий пределы в копределы, представим.

Категорию строгих левых R-мультипликативных систем можно отождествить с категорией ковариантных функторов из категории discr-R в абелевы группы, сохраняющих прямые пределы. Например, категория таких функторов на абелевой категории всех правых модулей над дискретным кольцом R эквивалентна категории левых модулей над R. В общем случае, такая категория функторов есть некая аддитивная версия категории копучков абелевых групп на "аддитивном сайте" discr-R. С копучками связан известный ряд технических проблем (если строить копучковизацию по аналогии с пучковизацией, нужно брать направленные проективные пределы в категории абелевых групп, которые не точны), и в самом деле, категория строгих левых R-мультипликативных систем (она же категория отделимых левых R-контрамодулей) ведет себя не очень хорошо; правильной версией ее является категория всех левых R-контрамодулей. Таким образом, такая наивная попытка определить подходящую категорию левых модулей как категорию функторов (тензорного произведения с фиксированным объектом) на категории правых модулей не позволяет получить хорошую теорию в случае, когда в роли правых модулей выступают дискретные правые модули над топологическим кольцом.