Еще раз о контрамодульной лемме Накаямы

http://posic.livejournal.com/1227491.html

К предыдущему математическому постингу, к первому пункту его: вспомогательный производный функтор это, конечно, хорошо, но все-таки и без леммы Накаямы никак не обойтись. Подходящей формы ее, между тем, в моих текстах не было до сих пор пока; тут нужно некое обобщение.

Что такое, вообще, лемма Накаямы? В классической теории модулей есть, на самом деле, две ее версии, ни одна из которых не является частным случаем другой: 1. для радикала Джекобсона и конечно-порожденного модуля, и 2. для (конечно) нильпотентного идеала и произвольного модуля. Второй случай настолько прост, что обычно не удостаивается отдельного упоминания; но контрамодульная лемма Накаямы является именно его обобщением.

Пусть R -- ассоциативное кольцо, I -- его (скажем, двусторонний) идеал, такой что Iⁿ = 0 для некоторого натурального n, и пусть M -- левый R-модуль. Тогда если IM = M, то M = 0. Очевидное доказательство я опущу, но отмечу, что утверждение это допускает не менее очевидное обобщение, которое реже можно увидеть где-либо сформулированным.

Пусть R -- ассоциативное кольцо и I₁, …, I_n -- его (скажем, двусторонние) идеалы, произведение которых I₁ … I_n есть нулевой идеал. Пусть M -- левый R-модуль. Тогда если I_iM = M для всех i = 1,…,n, то M = 0.

Контрамодульный вариант этого последнего утверждения -- это то, что нам нужно.

Пусть R -- полное отделимое топологическое кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, и пусть J₁, J₂, … -- последовательность (скажем, правых и, для простоты, замкнутых) идеалов в R, такая что последовательность правых идеалов J₁, J₁J₂, J₁J₂J₃, … сходится к нулю в топологии R (т.е., для любая окрестность нуля в R содержит все, кроме конечного числа, идеалы в этой последовательности произведений). Пусть P -- левый R-контрамодуль. Тогда если отображения J_n[[P]] → P сюръективны для всех n, то P = 0.

Доказательство на этот раз уже отнюдь не тривиально, но писать его здесь я все-таки не буду; оно такое же, как доказательство более привычной формы контрамодульной леммы Накаямы в разделе 1.3 слабо искривленного препринта.

Вместо этого, поступим в духе ЖЖ и дадим ссылку на радостный постинг июня 2006 года, возвестивший миру об открытии первой сформулированной в разумной общности версии леммы Накаямы для контрамодулей (тогда еще только над коалгебрами над полями) -- http://posic.livejournal.com/191812.html

А вот, кстати, постинг сентября 2003 года (12 лет назад!) о контрамодулях над целыми p-адическими числами, содержащий, помимо разных прочих утверждений, и сжатую формулировку леммы Накаямы для них -- http://posic.livejournal.com/107398.html