Разрозненные заметки по MGM-двойственности

Развитие августовского постинга http://posic.livejournal.com/1096155.html ; см. также февральский http://posic.livejournal.com/1163356.html и далее по ссылкам.

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо, I -- идеал в нем.

Лемма 1. Точный слева функтор, сопоставляющий всякому R-модулю M его максимальный подмодуль I-кручения (т.е., подмодуль всех элементов, аннулируемых идеалами Iⁿ для каких-то натуральных n) имеет конечную гомологическую размерность, не превышающую минимального числа образующих идеала I.

Доказательство. Пусть s_j, j=1, ..., m -- какое-то множество образующих идеала I. Сопоставим каждому R-модулю M комплекс Чеха C(M) следующего вида

M → ⊕_j M[s_j⁻¹] → ⊕_{j' < j''} M[s_j'⁻¹, s_j''⁻¹] → … → M[s₁⁻¹, ..., s_m⁻¹].

Заметим, что для любого R-модуля M нулевые когомологии H⁰C(M) изоморфны подмодулю элементов I-кручения в M. Далее, члены комплекса C(M) зависят как точные функторы от R-модуля M. Наконец, для любого инъективного R-модуля J комплекс C(J) не имеет когомологий в степенях выше нуля, что нетрудно посчитать, используя классификацию инъективных модулей над нетеровым кольцом R как прямых сумм по простым идеалам p кольца R инъективных оболочек полей вычетов k(p) в категории R-модулей.

Теперь пусть M -- произвольный R-модуль и J -- его инъективная резольвента; тогда тотальный комплекс бикомплекса C(J) квазиизоморфен одновременно комплексу C(M), поскольку C -- точный функтор и J -- резольвента M, и комплексу максимальных подмодулей I-кручения в комплексе J, поскольку J -- комплекс инъективных R-модулей. Таким образом, комплекс максимальных подмодулей I-кручения в J не имеет когомологий в степенях выше длины комплекса C, что и требовалось доказать.

Ср. Porta-Shaul-Yekutieli, "On the homology of completion and torsion", Theorem 4.24, Corollary 4.28, Theorem 4.34.

Следствие 1. Пусть R-mod обозначает абелеву категорию R-модулей и R-mod_I-tors -- абелеву категорию R-модулей I-кручения. Тогда для любого символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs−, co, или abs, триангулированный функтор D*(R-mod_I-tors) → D*(R-mod), индуцированный функтором вложения абелевых категорий R-mod_I-tors → R-mod, является вполне строгим.

Доказательство: в случае производных категорий с символами * = b или +, утверждение следует из известного факта, что функтор R-mod_I-tors → R-mod сохраняет инъективность объектов (который факт, в свою очередь, следует из леммы Артина-Риса). В общем случае лемма 1 выше, по существу, утверждает, что вопрос "имеет конечную гомологическую размерность" и в силу этого "сводится к конечным комплексам". Формальное доказательство проводится следующим образом.

Рассмотрим в R-mod полную подкатегорию R-mod_I-tors-adj, состоящую из всех объектов M, на которых зануляются высшие производные функторы функтора максимального подмодуля I-кручения (т.е., Hⁱ(C(M)) = 0 для i>0). Полная подкатегория R-mod_I-tors-adj ⊂ R-mod замкнута относительно расширений, коядер вложений, и бесконечных прямых сумм; и всякий R-модуль допускает конечную правую резольвенту равномерно ограниченной длины, составленную из объектов R-mod_I-tors-adj. Таким образом, для любого символа * из нашего списка естественный функтор D*(R-mod_I-tors-adj) → D*(R-mod) является эквивалентностью триангулированных категорий.

Используя комплексы объектов из R-mod_I-tors-adj в качестве резольвент, можно, таким образом, построить правый производный функтор функтора максимального подмодуля I-кручения, действующий из категории D*(R-mod) в категорию D*(R-mod_I-tors). Как и всякий производный функтор в смысле Делиня, этот функтор сопряжен справа к интересующему нас функтору D*(R-mod_I-tors) → D*(R-mod), поскольку точный слева функтор максимального подмодуля I-кручения сопряжен справа к функтору вложения абелевых категорий.

Далее, точная подкатегория R-mod_I-tors-adj содержит абелеву подкатегорию R-mod_I-tors ⊂ R-mod (достаточно посчитать производный функтор максимального подмодуля I-кручения для R-модуля I-кручения с помощью резольвенты, составленной из инъективных R-модулей I-кручения; альтернативным образом, можно заметить, что C(M) = M для всех M ∈ R-mod_I-tors -- ср. [PSY, Corollary 4.32]). Так что композиция сопряженных функторов D*(R-mod_I-tors) → D*(R-mod) → D*(R-mod_I-tors) изоморфна тождественному функтору. Желаемая полная строгость отсюда немедленно следует.

P.S. Фактически, мы показали, что функторы D*(R-mod_I-tors) → D*(R-mod) являются вполне строгими для любого "слабо прорегулярного" в смысле [PSY] конечно-порожденного идеала I в (не обязательно нетеровом) коммутативном кольце R.