Разрозненные заметки по MGM-двойственности - 3

Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/1168127.html

Лемма 3. Для любого коммутативного кольца R с конечно-порожденным идеалом I, ограничение функтора Δ_I на полную подкатегорию плоских R-модулей F является точным функтором, изоморфным функтору I-адического пополнения F → projlim_n F/IⁿF.

Доказательство: из явной конструкции функтора Δ_I видно, что на всей категории R-модулей он изоморфен функтору, переводящему произвольный R-модуль M в R-модуль H⁰Hom_R(Tel(R,s),M), где s=(s_j) -- обозначение для выбранного набора образующих идеала I и Tel(R,s) -- конечный комплекс бесконечно-порожденных свободных R-модулей из работы [PSY], квазиизоморфный комплексу C_s(R) = C(R) из первого постинга этой серии. Изоморфизм H⁰Hom_R(Tel(R,s),F) = projlim_n F/IⁿF для плоских R-модулей F следует из вычисления (2) в доказательстве [PSY, Theorem 5.21], а точность функтора F → projlim_n F/IⁿF на категории плоских R-модулей очевидна (см. напр. [PSY, Lemma 3.5]).

Лемма 4. Если конечно-порожденный идеал I в коммутативном кольце R прорегулярен (в частности, если кольцо R нетерово), то точный справа функтор Δ_I: R-mod → R-mod_I-contra имеет конечную гомологическую размерность, не превышающую минимального числа образующих идеала I.

Доказательство: согласно [PSY, Theorem 5.21], в этих предположениях комплекс Hom_R(Tel(R,s),F) не имеет когомологий с ненулевыми номерами для любого плоского R-модуля F. Тогда для любого R-модуля M комплекс Hom_R(Tel(R,s),M) вычисляет левый производный функтор LΔ_I(M) [PSY, Corollaries 5.25, 5.27].

Лемма 5. Если идеал I прорегулярен, то производный функтор функтора Δ_I отображает I-контрамодули в себя, т.е. Δ_I(P) = P и L_iΔ_I(P) = 0 для любого R-модуля P, являющегося I-контрамодулем.

Доказательство: все члены обоих комплексов по две стороны квазиизоморфизма Tel(R,s) → C_s(R) имеют то свойство, что функторы Ext_Rⁱ с ненулевыми номерами i > 0 из них во все R-контрамодули зануляются, так что комплексы Hom_R(Tel(R,s),P) и Hom_R(C_s(R),P) квазиизоморфны. Далее, все члены ядра морфизма комплексов C_s(R) → R имеют то свойство, что функторы Ext_Rⁱ со всеми номерами из них во все R-контрамодули зануляются, так что комплекс Hom_R(C_s(R),P) квазиизоморфен P.

Следствие 2. Если идеал I прорегулярен, то для любого символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs−, co, или abs, триангулированный функтор D*(R-mod_I-contra) → D*(R-mod), индуцированный функтором вложения абелевых категорий R-mod_I-contra → R-mod, является вполне строгим.

Доказательство такое же, как у следствия 1 из первого постинга этой серии. В случае нетерова кольца R и производных категорий с символами b или −, утверждение следует из результатов разделов B.8-B.10 препринта "Weakly curved ..." (см. также раздел C.5 препринта "Contraherent cosheaves").

В общем случае, рассмотрим в R-mod полную подкатегорию R-mod_I-contra-adj, состоящую из всех объектов M, на которых зануляются высшие производные функторы функтора Δ_I. Полная подкатегория R-mod_I-contra-adj ⊂ R-mod замкнута относительно расширений, ядер сюръекций, и бесконечных произведений; и всякий R-модуль допускает конечную левую резольвенту равномерно ограниченной длины, составленную из объектов R-mod_I-contra-adj. Таким образом, для любого символа * из нашего списка естественный функтор D*(R-mod_I-contra-adj) → D*(R-mod) является эквивалентностью триангулированных категорий.

Используя комплексы объектов из R-mod_I-contra-adj в качестве резольвент, можно построить левый производный функтор функтора Δ_I, действующий из категории D*(R-mod) в категорию D*(R-mod_I-contra). Этот функтор сопряжен справа к интересующему нас функтору D*(R-mod_I-contra) → D*(R-mod). Далее, точная подкатегория R-mod_I-contra-adj содержит абелеву подкатегорию R-mod_I-contra ⊂ R-mod, так что композиция сопряженных функторов D*(R-mod_I-contra) → D*(R-mod) → D*(R-mod_I-contra) изоморфна тождественному функтору. Желаемая полная строгость отсюда немедленно следует.

Следствие 3. Если идеал I прорегулярен, то для любого символа * = b, +, − или ∅ образ функтора D*(R-mod_I-contra) → D*(R-mod) совпадает с полной подкатегорией в D*(R-mod), состоящей из всех комплексов с модулями когомологий, принадлежащими R-mod_I-contra.

Доказательство: в одну сторону вложение очевидно, ввиду абелевости категории R-mod_I-contra, а в другую доказывается тем же way-out argument, основанным на конечности гомологической размерности функтора Δ_I;, что и [PSY, Corollary 4.32].