Разрозненные заметки по MGM-двойственности - 4

Продолжение оборванного на полуслове февральского постинга http://posic.livejournal.com/1163356.html , в котором мне не удалось доказать сформулированную там теорему.

Итак, пусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I и I-адическим пополнением R^ = projlim_n R/Iⁿ, и пусть B -- дедуализирующий комплекс для пары (R,I). Мы хотим показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHom_R(B, B⊗^L_RR^[[X]]) = RHom_R(B,B[X]) и B ⊗^L_R Hom_R(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J. Пусть E -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → E.

Пусть s_j -- какой-нибудь конечный набор образующих идеала I. Согласно [PSY, Theorem 5.21] (см. ткж. леммы 3-4 из предыдущего постинга http://posic.livejournal.com/1168544.html ), естественное отображение Hom_R(Tel(R,s), R^[X]) → R^[[X]] является квазиизоморфизмом (конечных комплексов). Далее, комплекс Tel(R,s) является объединением конечных комплексов конечно-порожденных свободных R-модулей Tel_i(R,s), занумерованных натуральными числами i. Каждый комплекс Tel_i(R,s) гомотопически эквивалентен двойственному (т.е., неотрицательно когомологически градуированному) комплексу Кошуля K^v(R,sⁱ), связанному с набором элементов s_jⁱ в кольце R.

Таким образом, имеется естественный квазиизоморфизм projlim_i Hom_R(Tel_i(R,s), R^[X]) → R^[[X]]. С другой стороны, комплекс B, будучи комплексом R-модулей I-кручения, квазиизоморфен комплексу Tel(R,s) ⊗_R B = indlim_i Tel_i(R,s) ⊗_R B (см. первый постинг этой серии http://posic.livejournal.com/1167741.html ). Теперь мы приходим к важной лемме, на которой неизбежно основываются любые надежды на осмысленность самого определения дедуализирующего комплекса для пары (R,I) из постинга по первой ссылке (ср. с сентябрьским постингом http://posic.livejournal.com/1109490.html ).

Лемма о конетеровости: для любого идеала I в нетеровом кольце R, класс R-модулей I-кручения, в которых для всех n подмодули элементов, аннулируемых Iⁿ, конечно-порождены (или, что эквивалентно, подмодуль элементов, аннулируемых I, конечно-порожден) замкнут относительно перехода к фактормодулям по произвольным подмодулям.

Приняв пока эту лемму без доказательства, докажем теорему по модулю леммы. Поскольку когомологии комплекса K^v(R,sⁱ) сосредоточены в конечном числе когомологических градуировок, конечно-порождены над R и аннулируются умножением на I, комплекс Tel_i(R,s) ⊗_R B квазиизоморфен конечному комплексу конечно-порожденных R/Iⁿ-модулей для некоторого n. Следовательно, имеют место естественные квазиизоморфизмы

RHom_R(B,B[X]) = Hom_R(B,E[X]) = Hom_R(indlim_i Tel_i(R,s)⊗_RB, E[X]) = projlim_i Hom_R(Tel_i(R,s)⊗_RB, E[X]) = projlim_i Hom_R(Tel_i(R,s)⊗_RB, E) [X] = projlim_i Hom_R(Tel_i(R,s), Hom_R(B,E)) [X] = projlim_i Hom_R(Tel_i(R,s), R^) [X] = projlim_i Hom_R(Tel_i(R,s), R^[X]) = R^[[X]].

Первый желаемый квазиизоморфизм получен. Чтобы доказать второй, помножим обе стороны интересующего нас отображения тензорно на Tel_i(R,s) над R. Имеем B ⊗^L_R Hom_R(B,J) = B ⊗_R Hom_R(E,J) и цепочку естественных квазиизоморфизмов

Tel_i(R,s) ⊗_R B ⊗ Hom_R(E,J) = Hom_R(Hom_R(Tel_i(R,s)⊗_RB, E), J) = Hom_R(Hom_R(Tel_i(R,s), Hom_R(B,E)), J) = Hom_R(Hom_R(Tel_i(R,s), R^), J) = Tel_i(R,s) ⊗_R Hom_R(R^,J) = Tel_i(R,s) ⊗_R J.

Второй искомый квазиизоморфизм получается переходом к прямому пределу по i. В предположении леммы о конетеровости, теорема доказана.