Дедуализирующий комплекс для аффинной нетеровой формальной схемы

Продолжение сентябрьского постинга http://posic.livejournal.com/1105166.html , декабрьского http://posic.livejournal.com/1153742.html и январского http://posic.livejournal.com/1157340.html , см. также февральский http://posic.livejournal.com/1160333.html

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I. Комплексный комплекс R-модулей I-кручения (т.е., в которых каждый элемент аннулируется некоторой степенью I) B называется дедуализирующим комплексом для (R,I), если

- B имеет конечную проективную размерность как комплекс объектов в абелевой категории R-модулей I-кручения;
- естественное отображение R^ = proj lim_n R/Iⁿ → RHom_R(B,B) является квазиизоморфизмом (комплексов абелевых групп);
- для любого n, подмодули элементов, аннулируемых Iⁿ в R-модулях когомологий комплекса B являются конечно-порожденными R/Iⁿ-модулями.

Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHom_R(B,−) и B⊗^L_R− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*((R,I)-tors) и D*((R,I)-contra) R-модулей I-кручения и R^-контрамодулей.

Доказательство: согласно рассуждениям из декабрьского постинга по ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHom_R(B, B⊗^L_RR^[[X]]) = RHom_R(B,B[X]) и B ⊗^L_R Hom_R(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J.

Пусть K -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → K. Тогда Hom_R(K,K) -- неограниченный с обеих сторон комплекс плоских R-модулей кокручения, вычисляющий RHom_R(B,B). Более того, комплекс R-модулей Hom_R(K,K) гомотопически плоский, поскольку для любого ацикличного конечного комплекса конечно-порожденных R-модулей С комплекс C ⊗_R Hom_R(K,K) = Hom_R(Hom_R(C,K),K) ацикличен. Поэтому квазиизоморфизм R^ → Hom_R(K,K) индуцирует квазиизоморфизмы R/Iⁿ → Hom_R(K,K)/Iⁿ(K,K) = Hom_R/Iⁿ(_(Iⁿ)K, _(Iⁿ)K).

Далее, ввиду последнего третьего условия на комплекс B, комплекс R/Iⁿ-модулей _(Iⁿ)K имеет конечно-порожденные R/Iⁿ-модули когомологий.

(Продолжение следует.)