Дедуализирующий комплекс для пары коалгебр над полем

Продолжение серии сентябрьских постингов http://posic.livejournal.com/1106295.html , http://posic.livejournal.com/1109490.html , http://posic.livejournal.com/1114558.html и декабрьского постинга http://posic.livejournal.com/1153742.html с сегодняшним Update'ом.

Пусть C и D -- две коассоциативные коалгебры с коединицами над одним и тем же полем k. Конечный комплекс C-D-бикомодулей B над k называется дедуализирующим комплексом для пары коалгебр C и D, если

- B имеет конечную проективную размерность как комплекс над C-comod и как комплекс над comod-D;
- естественные отображения C* → RHom_D^op(B,B) и D* → RHom_C(B,B) являются (квази)изоморфизмами;
- коалгебра С кокогерентна слева, коалгебра D кокогерентна справа, и бикомодули когомологий комплекса B являются конечно копредставимыми левыми C-комодулями и конечно копредставимыми правыми D-комодулями.

Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHom_C(B,−) и B⊙^L_D− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*(C-comod) и D*(D-contra) левых C-комодулей и левых D-контрамодулей.

Доказательство: согласно результатам постинга по последней четвертой ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения Hom_k(D,V) → RHom_C(B, B⊙^L_DHom_k(D,V)) = RHom_C(B,B⊗_kV) и B⊙^L_DHom_k(B,V) = B⊙^L_D RHom_C(B,С⊗_kV) → С⊗_kV являются квазиизоморфизмами для любого k-векторного пространства V.

В случае первого отображения, обозначим через B → J квазиизоморфизм между комплексом С-комодулей B и некоторым ограниченным снизу комплексом конечно копорожденных инъективных левых C-комодулей J. Достаточно показать, что квазиизоморфизмом является композиция Hom_k(D,V) → RHom_C(B,B⊗_kV) → RHom_C(B,J⊗_kV) = Hom_C(B,J⊗_kV).

Пусть E -- конечномерная подкоалгебра в C. Тогда комплекс Hom_C(B,J) изоморфен проективному пределу комплексов Hom_E(_EB,_EJ) по всем E ⊂ C, где _EX обозначает максимальный подкомодуль левого C-комодуля X, являющийся комодулем над E. При этом Hom_E(_EB,_EJ) -- ограниченный снизу комплекс проконечномерных векторных пространств.

Отображение D* → limproj_E Hom_E(_EB,_EJ) является квазиизоморфизмом комплексов проконечномерных векторных пространств. Интересующий нас морфизм комплексов есть морфизм пополненных в известом смысле тензорных произведений комплексов проконечномерных векторных пространств на дискретное векторное пространство V, индуцированный этим квазиизоморфизмом -- и следовательно, тоже квазиизоморфизм.

В случае второго отображения, обозначим через B → J квазиизоморфизм между комплексом D-комодулей B и некоторым ограниченным снизу комплексом конечно копорожденных инъективных правых D-комодулей J. Достаточно показать, что квазиизоморфизмом является композиция B⊙_DHom_k(J,V) = B⊙^L_DHom_k(J,V) → B⊙^L_DHom_k(B,V) → С⊗_kV.

Обе стороны сквозного отображения коммутируют с направленными индуктивными пределами в аргументе V, так что достаточно рассмотреть случай V = k. Переходя к двойственным векторным пространствам с обеих сторон отображения и вспоминая правило, связывающее контратензорное произведение и контрамодульные гомоморфизмы, а также условие теоремы, остается заметить, что естественное отображение Hom_D(B,J) → Hom^D(J*,B*) является изоморфизмом комплексов.

Теорема доказана.