что я могу объяснить о работах Станислава Смирнова

Это — половина обещанного научно-популярного комментария о работах новых филдсовских лауреатов. Коллег, особенно специалистов по теории вероятностей (в число которых сам не вхожу), прошу отнестись к нижеследующему снисходительно. Прежде всего надо поговорить о нескольких известных математических моделях. Самая известная из них — это «блуждания пьяницы». Представим себе бесконечный лист клетчатой бумаги, в одной из клеточек которого находится маленький человечек в состоянии сильного опьянения. На ногах-то он держится и даже может идти: скажем, раз в секунду переступает из клеточки, в которой находится, в одну из четырех примыкающих к ней клеток. Но никакого направления он выдержать не может: каждый следующий шаг совершается совершенно независимо от предыдущего, и направление выбирается случайно. Чтобы не смущать студентов излишними упоминаниями о человеческих слабостях, в теории вероятностей это называется моделью двумерного (потому что на поверхности бумаги) случайного блуждания. Двумерность здесь важна, но до нее дело дойдет позже (как у Киплинга в сказке о моряке и ките: «Деточка, помни о подтяжках!»). Заметим, что путь пьяницы петляет и неизбежно пересекает сам себя. Поэтому траектория этого пути не ограничивает никакой области: клетки на бумаге нельзя раскрасить в два цвета так, чтобы один цвет был всегда по левую руку пьяницы, а другой по правую. Само по себе это не страшно — при построении модели мы сами себе хозяева и можем закладывать в нее любые свойства, — но появляется желание модифицировать модель, исключив эти самопересечения. Так возникают еще две модели: модель самоизбегающего случайного блуждания (self-avoiding random walk), когда пьяница чуть-чуть трезвее и на каждом шаге выбирает направление случайно, но так, чтобы не наступать на свои собственны следы, и модель случайного блуждания со стертыми петлями (loop-erased random walk), в которой пьяница ведет себя как обычно, но каждый раз, когда он пересекает свой собственный след, мы стираем получившуюся петлю, и на бумаге остается прихотливая, но не пересекающая себя кривая. Обе эти модели сложнее исходной: в самоизбегающем случайном блуждании надо помнить всю предшествующую историю, а при стирании петель из истории блуждания выкидываются заранее непредсказуемые фрагменты, соответствующие петлям. Поэтому они менее изучены, но и про них вероятностники знают немало. И есть еще одна известная модель, в которой получаются случайные кривые без самопересечений. Это так называемая перколяция (просачивание). В этой модели мы раскрашиваем клетки плоскости в два разных цвета, выбирая цвет каждой клетки случайно и независимо от выбора цвета в других клетках. Когда раскраска закончена, связные острова каждого из двух цветов как раз и оказываются ограничены случайными и несамопересекающимися ломаными. Слово «просачивание» употреблено потому, что один из цветов можно считать соответствующим клеткам, пропитанным какой-то жидкостью (например, нефтью), а второй - «сухим» клеткам. Получается модель распространения нефти в пористой породе (которой, кстати, вполне серьезно занимаются соответствующие специалисты-геофизики). Для Смирнова эти и родственные модели сами по себе не самоценны: интерес представляет общее для них свойство, называемое «конформной инвариантностью». Чтобы объяснить, что это такое, потребуется вспомнить о двух весьма общих математических идеях. Про первую из них можно сказать, что она даже не математическая, а физическая: это идея перехода к непрерывному пределу дискретной модели, подобно тому, как непрерывная материя строится из атомов (Демокрит!). Пока мы говорили о клетчатой бумаге, читатель, вероятно, представлял себе бумагу из школьной тетради со стороной клетки 5 мм. Уменьшим теперь пьяницу в пять раз и пустим его гулять по миллиметровке. Ломаные, которые он будет описывать, станут на вид сложнее и богаче тонкими деталями, но порождающий их вероятностный механизм будет тем же. Если уменьшать клетки и дальше: от миллиметра до микрона, от микрона до нанометра и т.д., то «в пределе» получится блуждание бесконечно маленькими шагами по непрерывной поверхности бумаги, исчерченной бесконечно малыми клетками, а значит, как бы чистой. Общая идея, о которой идет речь, заключается в следующем: подлинно существенными свойствами процесса являются те, которые сохраняются в пределе. Скажем, свойство ходить шагами длиной пять миллиметров — несущественно, его мы отбросили в самом начале, а свойство равноправия четырех направлений «вверх», «вниз», «вправо» и «влево» — существенно, потому что оно сохраняется на всех масштабах, а значит и в пределе. Смирнов, как и целый ряд его коллег, изучает именно такие предельные свойства вероятностных моделей. Вторая общая идея уже мельком упомянута: это идея симметрии. Пьянице совершенно все равно, в каком из четырех направлений идти. Значит, если повернуть лист бумаги ровно на четверть оборота, то кривая его пути повернется, но описывающий ее вероятностный закон останется прежним. Глядя на какую-то конкретную траекторию, прочерченную на листе клетчатой бумаги, мы не можем сказать, был ли этот лист повернут или остался в том же положении, в котором был, когда по нему блуждал пьяница. Однако оказывается — и это поразительный факт, — что в непрерывном пределе траектории двумерного случайного блуждания (и простого, и каждой из двух его более сложных несамопересекающихся модификаций), а также границы «островов» в модели перколяции выдерживают гораздо более сложные преобразования без изменения вероятностного закона. Например, лист бумаги с непрерывной кривой случайного блуждания можно повернуть на любой угол, а не только на четверть оборота. Или можно равномерно растянуть его, как резиновый лист (только при этом придется подходящим образом растянуть и масштаб времени, в котором происходит случайное блуждание). Но и это еще не все. Есть класс преобразований, включающий в себя повороты и растяжения, но более богатый — класс так называемых конформных преобразований. Конформным называется любое преобразование, сохраняющее углы между линиями. При этом разные куски преобразуемой поверхности могут растягиваться по-разному. Конформные преобразования, например, связывают между собой разные картографические проекции: меридианы и параллели могут изображаться разными кривыми (или даже прямыми, как на проекции Меркатора), но углы между ними всегда равны 90 градусам. Но эти преобразования еще довольно «умеренные»: Африка, она и в проекции Меркатора Африка. Могут быть и гораздо более «дикие» конформные преобразования, при которых коэффициент растяжения совершенно нерегулярно меняется от точки к точке. Так вот, оказывается, что в непрерывном пределе во всех упомянутых моделях вероятностный закон построения кривой сохраняется при любых конформных преобразованиях. Это и называется конформной инвариантностью. Этот факт заметили, по-видимому, физики лет тридцать назад. Кстати говоря, ключевую роль тут сыграли наши соотечественники: вспоминаются имена Александра Полякова или Александра и Алексея Замолодчиковых. Соответствующая область физики получила название «конформная теория поля» и сегодня представляет собой развитую и устоявшуюся дисциплину. Тем не менее еще десять лет назад утверждение о конформной инвариантности, сформулированное двумя абзацами выше, у любого настоящего математика вызывало скептическую ухмылку. Аргументы физиков в пользу конформной инвариантности перколяции и разных типов случайных блужданий были убедительны, наглядны, но недостаточны для строго доказательства (кроме конформной инвариатности самого простого случайного блуждания, которую доказал французский математик Поль Леви еще в середине 20 века). Слегка утрируя, можно сказать: заслуга Смирнова состоит в том, что он поставил (точнее — начал ставить) конформную теорию поля на не менее строгую математическую основу, чем евклидова геометрия для классической физики или риманова геометрия — для теории относительности. Поэтому комитет по присуждению медалей Филдса и решил, что его работы достойны этой высшей в математическом мире награды. Конечно, Смирнов занимался этими проблемами не один: когда говорят об этом круге вопросов, как правило, упоминают и имя трагически погибшего при несчастном случае в горах израильского математика Одеда Шрамма. Но, во-первых, медаль Филдса дают только математикам, не достигшим 40 лет, а во-вторых, ведущих специалистов по этой науке в мире не так много и вклады каждого из них индивидуальны и не дублируют друг друга. Вот как-то так, если говорить о работах Смирнова, точнее, о моем неизбежно ограниченном их понимании (и в еще более ограничительном формате поста в ЖЖ). Осталось только выполнить данное чуть выше обещание и сказать, почему же так важен тот факт, что размерность листа бумаги, на котором все происходит — именно два. Дело в том, что конформные преобразования составляют очень богатый класс, содержащий совершенно «дикие» экземпляры, только в случае плоскости. Конформные же преобразования трехмерного пространства, как и пространств более высокой размерности, грубо говоря, сводятся к равномерным растяжениям и поворотам, так что ничего особенно интересного (для физиков) там не происходит. Это на первый взгляд странное свойство связано с очень глубоким фактом: одномерное множество действительных (или, как говорят на родине Смирнова в Петербурге, «вещественных») чисел, с помощью которых мы количественно описываем действительность, можно дополнить мнимой единицей и получить двумерное множество комплексных чисел, «натянутое» на две единицы: обычную и мнимую. Но дальнейшее расширение невозможно, если не начать отказываться от привычных алгебраических свойств, позволяющих производить такие же вычисления, какие мы привыкли делать с обычными вещественными числами. Т. е. самое широкое возможное числовое множество двумерно. Примерно поэтому комплексные числа играют очень важную роль во всех исследованиях по двумерной конформной инвариантности, но подробности увели бы разговор слишком далеко.