MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 4

Продолжение серии постингов http://posic.livejournal.com/1098133.html и далее по ссылкам.

Конструкция MGM-двойственности в подходе Porta-Shaul-Yekutieli восходит к работам Alonso-Jeremias-Lipman ("Local homology and cohomology on schemes", "Greenlees-May duality on formal schemes", http://www.math.purdue.edu/~lipman/ ), являющимся для них основной ссылкой на предшествующие идеи в этой области. Последняя группа авторов работала в общности комплексов пучков на схемах и нетеровых формальных схемах. При этом они, судя по всему, не строили никаких эквивалентностей категорий, а только пары сопряженных триангулированных функторов.

Разумеется, они не знали ничего про копучки. Во второй из упомянутых работ, в качестве основной абелевой категории используется категория пучков модулей над структурным пучком формальной схемы, являющихся прямыми пределами когерентных пучков. Дальше рассматривается некая категория комплексов пучков модулей с "квазикогерентными", в этом смысле, пучками когомологий, ацикличных/приспособленных для сечений над аффинными открытыми формальными подсхемами, и т.д.

С нашей точки зрения, недостаток конструкций в духе обеих групп трех авторов в том, что их нельзя сформулировать, не выходя за рамки категорий модулей кручения и контрамодулей. Чтобы применить к контрамодулю производный функтор максимального подмодуля кручения, нужно погрузить его в категорию произвольных модулей и написать ему там инъективную резольвенту, внутри категории контрамодулей это действие не проделывается. Чтобы применить к модулю кручения производный функтор адического пополнения, нужно погрузить его в категорию произвольных модулей и написать там проективную резольвенту, в категории модулей кручения таких резольвент нет.

В ситуации с неаффинной формальной схемой, квазикогерентные пучки модулей кручения и контрагерентные копучки контрамодулей ни в какую общую абелеву или даже триангулированную категорию естественным образом не вложены. Более того, уже для обычной (не формальной) неаффинной схемы ко-контра соответствие задается некими производными функторами контратензорного произведения (при отображении из копучков в пучки) и контрагерентных внутренних гомоморфизмов (из пучков в копучки). Непонятно, как это можно было бы соединить со взятием производных гомоморфизмов в контрамодули и производного адического пополнения модулей кручения. Два функтора в первой паре являются сопряженными/производными с другой стороны, нежели во второй.