Можно ли жить без актуальной бесконечности

http://mathoverflow.net/questions/178284/can-one-live-without-actual-infinity

Ну, разумеется. И без потенциальной бесконечности можно жить. И без конечных сущностей можно прекрасно жить. Вообще без всякой математики можно превосходно жить. Как и без всякой этой, тем более, философии насчет конечного, потенциального и актуального.

Насколько установила, как говорят, наука белых людей, которым ведомо различие между потенциальной и актуальной бесконечностями, история человечества насчитывает десятки или сотни тысяч лет, из которых математика и философия, придуманные древними греками, существуют только последние две с половиной тысячи лет примерно. Так что "один, два, три, много" должно быть более чем достаточно. Даже и "один, два, много" можно с избытком обойтись.

Если речь идет за калькулюс, то науке белых людей, по разделу "математическая логика и основания математики", вот уже несколько десятилетий как хорошо известно, что никакая актуальная бесконечность для построения дифференциального и интегрального исчисления не нужна. Не только арифметики Пеано, но и систем, эквивалентных слабым подсистемам арифметики Пеано, вполне достаточно для подобных целей.

Обратное представление является историческим и терминологическим недоразумением. Разумеется, если вы хотите исследовать поточечную сходимость рядов Фурье (род вопросов, в контексте которых появилась в конце XIX -- начале XX века теория множеств), вам нужны более сильные аксиоматические системы. Но подобные вопросы не упоминаются в курсах калькулюса.

Если речь идет за преподавание матана, то, конечно, стандартные изложения, использующие актуальную бесконечность, воспринимать гораздо легче, чем сложные построения современных специалистов по основаниям, преследующие целью максимальное ослабление аксиом. Для последних едва ли вообще в наше время может существовать аудитория, для которой они подходили бы в качестве первого знакомства с предметом.

Это, конечно, общая ситуация, равно относящаяся к слушателям вводных университетских курсов и профессионалам-исследователям (за пределами специалистов по логике и основаниям). В 90% случаев сильные аксиомы в основаниях используются математиками не как логический, а как педагогический инструмент. Пользуясь ими, легче думать, писать и объяснять.

Что не отменяет красоты и глубины математических теорий, фундаментальным образом логически основанных на понятии об актуальной бесконечности и сильных теоретико-множественных аксиомах.

Обращаясь, наконец, уже окончательно к педагогике, можно вспомнить, что речь шла о практике преподавания калькулюса. Это как раз пример явления, с которым жить нельзя.

Вернее сказать, тут действует знаменитая формула Батьки Лукашенко, про то, как белорусский народ "будет жить плохо, но недолго". Другие народы тоже. Никакая индукция, дедукция и продукция, а равно бесконечность актуальная, потенциальная и чисто мнимая, этому делу не помогут ни капельки.