Теории кокручения в категориях контрамодулей

Значение теорий кокручения на категориях модулей над коммутативными кольцами в теории контрагерентных копучков связано с тем, что морфизмы, скажем, аффинных схем, используемые в качестве покрытий при построении произвольных схем или стеков, часто обладают тем свойством, что кольцо функций на верхней схеме является плоским модулем над кольцом функций на нижней, но гораздо реже этот модуль оказывается проективным.

Поскольку кольца функций на открытых аффинных подсхемах в топологии Зарисского, не будучи отнюдь проективными модулями над кольцом функций на объемлющей аффинной схеме, являются все же представителями довольно специального подкласса плоских модулей (такие модули называются у меня очень плоскими), возникает не одна, но две основные теории кокручения: 1. плоские модули и модули кокручения, и 2. очень плоские и контраприспособленные модули.

Развитие теорий контрагерентных копучков контрамодулей требует, соответственно, построения теорий кокручения в категориях контрамодулей. Исторически, доказательство полноты плоской теории кокручения в категории модулей над кольцом было в свое время непростой задачей: впервые сформулированная Э. Еноксом в начале 80-х годов, соответствующая гипотеза была в полной общности доказана только в начале 00-х. Доказательство, оказавшееся совсем несложным, продемонстрировало значение и мощь теоретико-множественных методов в гомологической алгебре, начавших входить в моду где-то с середины 90-х.

Методы эти, однако, вообще говоря разрабатываемые и применяемые в довольно общей ситуации "λ-фильтрованных прямых пределов для произвольного регулярного кардинала λ", к этим задачам об абелевых и точных категориях обычно применяются только в предположении точности всех направленных прямых пределов. Не умея избавиться от этого предположения, которому, конечно, не удовлетворяют контрамодули, я на протяжении последних полутора-двух лет искал подходы к построению теорий кокручения в категориях контрамодулей, основанные на уже известном факте полноты таких теорий в обычных категориях модулей, принимаемом как исходная данность.