Лемма Накаямы

Пусть T -- ассоциативное кольцо без единицы, такое что для любых элементов t и a ∈ T найдется элемент b ∈ T, удовлетворяющий уравнению a = b − bt. Пусть M -- конечно-порожденный левый T-модуль. Тогда если TM = M, то M = 0.

Доказательство: пусть {m_i} -- минимальное по включению конечное множество образующих M. По определению, это означает, что M = ∑_i Zm_i + ∑_i Tm_i, откуда, в наших предположениях, M = TM = ∑_i Tm_i. Покажем от противного, что множество индексов i пусто.

Пусть m₀ -- одна из наших образующих; тогда m₀ = ∑_i t_im_i для некоторых t_i ∈ T. Перепишем это равенство в виде m₀ − t₀m₀ = ∑_j t_jm_j (суммирование по j ≠ 0). Согласно условию, для любого a ∈ T найдется b ∈ T, такой что a = b − bt₀. Теперь am₀ = bm₀ − bt₀m₀ = ∑_j bt_jm_j, откуда Tm₀ ⊂ ∑_j Tm_j и M = ∑_j Mt_j, в противоречие с минимальностью множества образующих m_i.

Это называется, примерно, "лемма Накаямы для ассоциативных колец без единицы, совпадающих со своим радикалом Джекобсона, и конечно-порожденных модулей над ними". Ее аналог для контрамодулей над топологическими кольцами, имеющий место без предположения конечной порожденности, играет важную роль в соответствующей теории.

Некоторый недостаток существующей формулировки контрамодульной леммы Накаямы (см. лемму 1.3.1 в препринте Weakly curved A-infinity algebras...) состоит, однако, в том, что она скорее похожа на обычную лемму Накаямы для нильрадикалов дискретных колец, чем для их радикалов Джекобсона. Формулировка по ссылке требует, чтобы топологическое кольцо T было топологически нильпотентным, т.е. всякая окрестность нуля в T содержала T^N для достаточно большого натурального N. Нельзя ли придумать вариант контрамодульной леммы Накаямы, больше похожий на вышеприведенную формулировку с радикалом Джекобсона?

Скажем, пусть T -- топологическое ассоциативное кольцо без единицы, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля (последнее условие нужно, чтобы понятие левого T-контрамодуля имело смысл). Допустим, имеется непрерывное отображение β: T × T → T, удовлетворяющее уравнению α = β(α,τ) − β(α,τ)τ для всех τ и α ∈ T. Пусть P -- левый T-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно. Следует ли отсюда, что P зануляется?

Ранее на ту же тему: http://posic.livejournal.com/191812.html , http://posic.livejournal.com/107398.html