Еще о котензорном произведении абелевых групп кручения

Развитие постинга http://posic.livejournal.com/938974.html

Есть две формулы, одна из которых использует, условно говоря, контравариантную двойственность, а вторая -- ковариантную.

Во-первых, для конечных абелевых групп A и B котензорное произведение A□B можно определить как группу Hom(Hom(A,Q/Z)⊗Hom(B,Q/Z), Q/Z), где ⊗ обозначает тензорное произведение Z-модулей. После этого котензорное произведение произвольных абелевых групп кручения A и B определяется исходя из условия, что функтор этот должен коммутировать с направленными индуктивными пределами. Если A -- конечная абелева группа, а B -- произвольная абелева группа кручения, то A□B = Hom(Hom(A,Q/Z), B).

Во-вторых, для делимых абелевых групп кручения A и B котензорное произведение A□B можно определить как группу Q/Z ⊗ Hom(Q/Z,A) ⊗ Hom(Q/Z,B), где тензорное произведение берется над ∏_p Z_p. После этого котензорное произведение произвольных абелевых групп кручения A и B определяется исходя из условия, что функтор этот должен быть точным слева. Если A -- делимая, а B -- произвольная абелева группа кручения, то A□B = Hom(Q/Z,A) ⊗ B.

Первый абзац обобщается на случай, когда на месте ∏_p Z_p стоит произвольное про-артиново топологическое коммутативное кольцо, на месте абелевых групп кручения -- дискретные модули, а на месте Q/Z -- произвольно выбранная инъективная оболочка прямой суммы всех неприводимых дискретных модулей.

Второй абзац имеет смысл в случае, когда на месте ∏_p Z_p стоит нетерово коммутативное кольцо, на месте делимых абелевых групп кручения -- инъективные модули, а на месте Q/Z -- дуализирующий комплекс. Дальше, hopefully, это можно обобщить на случай про-нетерова топологического коммутативного кольца и дискретных модулей. (Впрочем, наверное, и первому абзацу можно придать смысл для нетерового кольца и дуализирующего комплекса...)