Очень плоские морфизмы алгебраических многообразий - 3

Теорема. Для любой схемы конечного типа X над бесконечным полем k, естественные морфизмы проекции A_Xⁿ → X являются очень плоскими.

Доказательство: ввиду соображений из примера 4 предпредыдущего постинга, а также факта замнутости класса очень плоских морфизмов относительно композиций, достаточно показать, что морфизмы проекции π: A_kⁿ⁺¹ → A_kⁿ являются очень плоскими. Воспользуемся индукцией по n; случай n = 0 очевиден.

Пусть U -- главное аффинное открытое подмножество в Aⁿ⁺¹; требуется доказать, что O(U) является очень плоским O(Aⁿ)-модулем. Дополнение к U в Aⁿ⁺¹ является аффинной гиперповерхностью -- множеством нулей полинома от n + 1 переменных. Разложим его на неприводимые множители и выделим те, которые не зависят от последней переменной (которую забывает проекция). Таким образом, дополнение к U в Aⁿ⁺¹ раскладывается в объединение Z ∪ π⁻¹(W), где W -- гиперповерхность в Aⁿ, а Z -- гиперповерхность в Аⁿ⁺¹, проекция которой на Aⁿ является композицией плоского конечного гомеоморфизма и конечного этального морфизма вне полного прообраза Y ⊂ Z замкнутого подмножества X ⊂ Aⁿ, где размерности Y и X не превосходят n − 1.

Поскольку класс очень плоских модулей замкнут относительно тензорных произведений, достаточно показать, что O(Aⁿ)-модуль O(Aⁿ⁺¹\Z) очень плоский; так что можно считать W пустым. Далее, можно считать размерности всех неприводимых компонент подмногообразий X и Y в точности равными n − 1.

Выберем какую-нибудь невертикальную прямую (одномерное подпространство) в векторном пространстве kⁿ⁺¹, и проведем через каждую точку из Y аффинную прямую в Aⁿ⁺¹ в выбранном направлении. После перехода к замыканию в топологии Зарисского, зарисуется (в общем положении) некоторая гиперповерхность H в Aⁿ⁺¹. Замена координат делает выбранное невертикальное направление горизонтальным и координатным; в этих координатах, гиперповерхность H является полным прообразом гиперповерхности в "горизонтальном" Aⁿ (расслаивающемся над Aⁿ⁻¹) при отображении забывания этой горизонтальной координаты.

Для каждой точки из Aⁿ⁺¹, не лежащей на Y, направления на точки из Y образуют (самое большее) (n−1)-мерное подмногообразие в n-мерном проективном пространстве направлений. Поэтому пересечение конечного числа гиперповерхностей типа H совпадает с Y. Ввиду локальности очень плоскости, достаточно показать, что кольцо O(Aⁿ⁺¹\(H∪Z)) является очень плоским O(Aⁿ)-модулем. Ввиду предположения индукции по n, таковым является кольцо O(Aⁿ\H).

Согласно результатам предыдущего постинга, кольцо O(Z\H) является очень плоским O(Aⁿ\X)-модулем, а значит, и O(Aⁿ)-модулем. Согласно рассуждению из примера 2 предпредыдущего постинга, отсюда следует, что таковым является и кольцо O(Aⁿ⁺¹\(H∪Z)). Теорема доказана.