Поиск публикаций  |  Научные конференции и семинары  |  Новости науки  |  Научная сеть
Новости науки - Комментарии ученых и экспертов, мнения, научные блоги
Реклама на проекте

Что такое контрагерентные копучки

Tuesday, 11 December, 02:12, posic.livejournal.com
- Что такое контрагерентные копучки?

- Это двойственное понятие к квазикогерентным пучкам, в том же смысле, в котором контрамодули двойственны к комодулям. Квазикогерентные пучки на (любой) схеме образуют абелеву категорию с достаточным количеством инъективных объектов, а контрагерентные копучки на (хорошей) схеме образуют точную категорию с достаточным числом проективных объектов.

- Откуда они взялись?

- Изначальной целью было глобализовать понятие контрамодуля над пополнением нетерова кольца. Придумать двойственный аналог категории квазикогерентных пучков кручения на формальной схеме, в котором объектами были бы вещи, похожие не на дельта-функции (образующие модули кручения), а на степенные ряды (образующие полные модули). Хотелось, конечно, получить абелеву категорию, но на нынешний момент удалось построить только точную. В определенном смысле, эта точная категория "не слишком далека" ("на конечную гомологическую размерность удалена") от абелевой.

- А контрамодули над пополнением нетерова кольца откуда взялись?

- Выросли из моей работы по полубесконечной гомологической алгебре, конечно. Эйленберг и Мур в 1965 году определили контрамодули над коалгеброй (над коммутативным кольцом); дальнейшее развитие -- это моя деятельность, направленная изначально к определению полубесконечных когомологий (в отличие от гомологий), а позже -- к поиску максимальной естественной общности введенных таким образом понятий в контексте математики в целом.

- У этого есть какая-то связь с современными исследованиями, или это такая вещь в себе?

- Да, это связано с недавними работами на тему, известную условно под названием "ковариантной двойственности Серра-Гротендика".

Весной 2009 года в Падерборне я спрашивал А.Н. и Д.М., как можно было бы в явном виде описать то, что они называют "подражательской гомотопической категорией проективных квазикогерентных пучков (реально, это производная категория точной категории плоских квазикогерентных пучков) как факторкатегорию гомотопической категории произвольных квазикогерентных пучков. Там существует сопряженный функтор, так что в принципе такая конструкция возможна, но в явном виде описать подкатегорию в ядре не получается. Контрагерентные копучки решают эту проблему, восстанавливая симметрию между плоскими/проективными и инъективными модулями на глобализованном по схеме уровне.

- У этого есть какие-нибудь приложения?

- Кроме сказанного выше, можно упомянуть новую конструкцию функтора f! для комплексов квазикогерентных пучков на схемах и D-Ω двойственность (где приятно иметь класс глобализованных по схеме модулей, для которых имеет смысл конструкция контрапроизводной категории). Но настоящих нетривиальных приложений, конечно, еще нет. Рано быть приложениям -- нечего прилагать пока что. Теория еще в зародыше. Даже конструкция точной категории контрагерентных копучков контрамодулей на нетеровой формальной схеме еще не прописана.

- В каком же состоянии находится эта работа?

- Пишется текст, по замыслу, размером с толстую книгу -- несколько сот страниц. Это должны быть основы гомологической теории контрагерентных копучков на схемах и контрагерентных копучков контрамодулей на нетеровых формальных схемах. И если получится, хорошо бы сделать еще следующий шаг, к инд-нетеровым инд-схемам.

- Пишется толстый текст с изложением теории, не имеющей приложений?

- Да, конечно. Когда я начинал писать про полубесконечную гомологическую алгебру полумодулей и полуконтрамодулей, приложений тоже еще не было. Была мечта о некотором приложении, которую со временем удалось материализовать, действительно. Сейчас тоже есть некая голубая мечта. Когда теория будет уже в основном готова, я начну приглядываться к этим мечтаниям более внимательно.

- Это приятное занятие -- писать толстый текст про новую теорию с мечтой о приложении, которого еще нет, но, может быть, будет?

- На мой вкус, да, это не худший способ проводить время. Мне понравилось, как получилось с полубесконечной книжкой. На мой взгляд, этой некий кладезь. В частности, работа про матричные факторизации и относительные особенности, снискавшая некую популярность, вся выросла из доказательства одной довольно технической теоремы в полубесконечной книжке. Теоремы, необходимости доказывать которую мне, кстати, долго хотелось избежать, но потом потребности развития теории приперли меня к стенке, так что пришлось придумать довольно длинное по моим меркам техническое рассуждение.

- Сколько времени еще пройдет, пока появится эта книга?

- Возможна только приблизительная оценка снизу -- вряд ли меньше двух-трех лет до появления относительно полной версии.

- Перспективы публикации?

- Абсолютно туманны. И менее загадочного вида мои тексты публикуются по нынешним временам с трудом, если вообще.

- Доцент матфака ВШЭ может позволить себе три года писать книгу про теорию без известных приложений и определенных перспектив публикации?

- Вопрос не в том, что может себе позволить человек с теми или иными званиями или на той или иной должности. Вопрос в том, что может себе позволить смертный человек вообще. У меня осталось не так много, насколько можно предположить, активного творческого времени, чтобы заниматься второстепенными вопросами. По моим интересам и способностям, разумеется.

- Контрагерентные пучки -- не второстепенный вопрос?

- Нет, это важный вопрос и не второстепенный. Другое дело, что это вопрос, требующий развития. Пока еще я мало что знаю об этих вещах; через несколько лет, если буду жив, буду знать больше. В конечном итоге, научная работа делается в надежде, что она получит продолжение в работах других людей. Но что будут делать другие люди, зависит от них, а не от меня, и тут моя сфера ответственности кончается.
Читать полную новость с источника 

Комментарии (0)