Кому нужны большие кардиналы?

- Мне нужны большие кардиналы!
- Какие тебе нужны большие кардиналы?
- Я не знаю, какие большие кардиналы. Мне нужен принцип Вопенки.
- В чем состоит принцип Вопенки и как он связан с большими кардиналами?
- Я не знаю, в чем состоит принцип Вопенки. Говорят, бывают какие-то кардиналы Вопенки, но я не знаю, о чем здесь идет речь. Для меня принцип Вопенки -- это то, в предположении чего, как утверждают авторы, выполняется теорема 2.4 из этой работы Розицкого с соавторами -- http://arxiv.org/abs/1106.2218v3
- По модулю принципа Вопенки, что утверждает эта теорема?
- Я не знаю, что утверждает эта теорема даже по модулю принципа Вопенки. Там какие-то локально представимые категории, про которые я разве что слышал звон.
- Тогда откуда ты знаешь, что она тебе нужна?
- Потому что у меня есть некое общее представление, интуитивное, что условия этой теоремы выполняются в определенном классе случаев, и интересующий меня конкретный пример ничем не хуже любого другого из этого класса.
- Может быть, в конкретном примере можно обойтись без принципа Вопенки?
- Все может быть, но кому адресован вопрос? "Конкретный пример" -- это сильно сказано; на самом деле, речь идет о категории DG-комодулей над произвольной DG-коалгеброй (над полем). Грубо говоря, я -- примерно единственный человек, который что-нибудь понимает про этот конкретный пример, и я даже не знаю, что такое локально представимая категория.
- Так ты собираешься теперь в это вникать?
- Когда-нибудь -- может быть, но не сейчас. I have bigger fish to fry at the moment. Но я мечтал увидеть такую теорему (хоть по модулю принципа Вопенки, хоть как) с весны 2009 года.
- А что она тебе дает вообще (предположим пусть даже, что она применима)?
- Что производная категория DG-комодулей над DG-коалгеброй C над полем k порождается одним объектом -- самой DG-коалгеброй C как комодулем над собой -- как триангулированная категория с бесконечными произведениями. И, даже лучше сказать, как полная подкатегория копроизводной категории DG-комодулей.
- А зачем тебе это нужно?
- Низачем. Просто красивый результат, проясняющий. Особенно в сравнении с другой теоремой, что производная категория DG-контрамодулей над C порождается DG-контрамодулем Hom_k(C,k) как триангулированная категория с бесконечными прямыми суммами. И, даже лучше, как полная подкатегория контрапроизводной категории DG-контрамодулей.
При этом копроизводная категория DG-комодулей эквивалентна контрапроизводной категории DG-контрамодулей, и DG-комодулю С соответствует при этой эквивалентности DG-контрамодуль Hom_k(C,k).
- И что?
- Ну, как бы есть одна копроизводная = контрапроизводная категория, со всех точек зрения хорошая. И в ней фиксированный объект. Если натянуть на этот объект триангулированную подкатегорию, замкнутую относительно бесконечных прямых сумм, получится производная категория контрамодулей, если замкнутую относительно бесконечных произведений -- комодулей.
- А... Ну ладно. А эту вторую теорему ты умеешь доказывать?
- Нет. Я просто нашел в некой статье другого автора (Х.К.) некое тоже общекатегорное, в теоретико-множественном русле утверждение, из которого она легко выводится. Примерно в ту же цену, на мой поверхностный взгляд, что и это новое, только без использования принципа Вопенки.
- Понятно. А при чем тут ты?
- А я доказал, что копроизводная категория (C)DG-комодулей эквивалентна контрапроизводной категории (C)DG-контрамодулей.
- А... Ну хорошо.