В тензорном произведении плоского модуля на конечно-порожденный нет делимых элементов кручения

Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо, P -- плоский A-модуль, M -- конечно-порожденный A-модуль, f -- элемент A. Тогда естественный гомоморфизм A-модулей Hom_A(A[f⁻¹], P⊗_AM) → P⊗_AM инъективен. Другими словами, Hom_A(A[f⁻¹]/A, P⊗_AM) = 0. Третьими словами, не существует ненулевой бесконечной последовательности x_i ∈ P⊗_AM, i≥0, такой что fx_i = x_i−1 и x₀ = 0.

Доказательство: рассмотрим возрастающую последовательность подмодулей -- аннуляторов степеней элемента f ∈ A в M. Пусть N -- наибольший подмодуль в этой цепочке, и пусть он является аннулятором элемента fⁿ. Очевидно, умножение на f действует инъективным эндоморфизмом на A-модуле M/N; соответственно, и умножение на элемент fⁿ⁺¹ тоже.

Ввиду плоскости P, это значит, что умножение на fⁿ⁺¹ должно действовать инъективным эндоморфизмом и на A-модуле P⊗_A(M/N) = (P⊗_AM)/(P⊗_AN). В частности, поскольку это отображение аннулирует класс элемента x_n+1, этот класс должен быть равен нулю, т.е., x_n+1 ∈ P⊗_AN ⊂ P⊗_AM. Поскольку N аннулируется элементом fⁿ, отсюда следует, что x₁ = 0 в P⊗_AM.

P.S. Отметим, что этот аргумент доказывает даже отсутствие слабо делимых элементов кручения. То, что мы на самом деле показали -- это что если x ∈ P⊗_AM, fx = 0, и x = fⁿy (где n определяется по f и M как в рассуждении выше), то x = 0.

P.P.S. Вот другое доказательство, использующее теорему Говорова-Лазара. Ввиду рассуждения с нетеровостью выше, существует такое n, что всякий элемент M, аннулируемый fⁿ⁺¹, аннулируется fⁿ. Тензорное произведение на плоский модуль P⊗_AM является направленным прямым пределом конечных прямых сумм копий M. Отсюда легко вывести, что оно обладает тем же свойством.