Плоские покрытия и оболочки кокручения контрамодулей

Это важный вопрос, который мы здесь рассмотрим только в частном случае. Пусть R -- коммутативное кольцо, s∈R -- элемент. R-модуль P называется s-контрамодулем, если Ext_Rⁱ(R[s⁻¹],P) = 0 для i = 0 и 1.

Предположим, что s не является делителем нуля в R. Тогда утверждается, что плоское покрытие и оболочка кокручения R-модуля, являющегося s-контрамодулем, также являются s-контрамодулями.

В самом деле, пусть K -- R-модуль кокручения. Тогда имеется точная последовательность 0 → Hom_R(R[s⁻¹]/R, K) → Hom_R(R[s⁻¹], K) → Hom_R(R,K) = K → Ext_R¹(R[s⁻¹]/R, K) → 0, поскольку Ext_R(R[s⁻¹], K) = 0. Если теперь K -- подмодуль плоского R-модуля F, то Hom_R(R[s⁻¹]/R, F) = 0 (поскольку в F нет ненулевых элементов, аннулируемых s, вследствие предположения, что s не делит ноль в R), откуда Hom_R(R[s⁻¹]/R, K) = 0.

Аналогично, если в K имеется подмодуль P, являющийся s-контрамодулем, а фактормодуль F= K/P плоский, то Hom_R(R[s⁻¹]/R, F) = 0 и Hom_R(R[s⁻¹]/R, P) = 0 (поскольку Hom_R(R[s⁻¹], P) = 0), откуда Hom_R(R[s⁻¹]/R, K) = 0. В обоих случаях получаем короткую точную последовательность 0 → Hom_R(R[s⁻¹], K) → K → Ext_R¹(R[s⁻¹]/R, K) → 0.

Покажем теперь, что R-модуль Ext_R¹(R[s⁻¹]/R, K) является модулем кокручения. В самом деле, если Hom_R(R[s⁻¹]/R, K) = 0 и F -- плоский R-модуль, то Ext_Rⁱ(F, Ext_R¹(R[s⁻¹]/R, K)) = Ext_Rⁱ⁺¹(F ⊗_R (R[s⁻¹]/R), K)) = 0 при i > 0, т.к. R-модуль F ⊗_R (R[s⁻¹]/R) имеет двучленную плоскую резольвенту F → F ⊗_R R[s⁻¹], а K -- R-модуль кокручения.

Для любого R-модуля M, будем называть подмодулем s-делимых элементов в M и обозначать через M(s) образ отображения Hom_R(R[s⁻¹],M) → Hom_R(R,M) = M. Другими словами, элемент m ∈ M называется s-делимым, если он допускает согласованную систему частных при делении на все степени s в M. Это более сильное условие, чем возможность поделить m на любую отдельно взятую степень s: например, для s-контрамодуля P подмодуль P(s) равен нулю по определению, в то время как элементы, которые можно поделить на любую степень s, в P могут существовать.

Приступим теперь к доказательству изначально заявленных утверждений. Пусть P → K → F -- оболочка кокручения R-модуля F, являющегося s-контрамодулем. Согласно доказанному выше, R-модуль K/K(s) = Ext_R¹(R[s⁻¹]/R, K) является R-модулем кокручения. Если элемент модуля P принадлежит K(s), то все элементы его согласованной системы частных в K тоже принадлежат P, поскольку иначе образ одного из них был бы ненулевым элементом F, аннулируемым s. Поскольку P(s) = 0, мы заключаем, что K(s) не пересекается с P. [Но этого мало -- вроде надо еще знать, что фактормодуль F по F(s) = образу K(s) плоский.]

Пусть K → F → P -- плоское покрытие R-модуля P, являющегося s-контрамодулем. Поскольку P(s) = 0, всякий s-делимый элемент F принадлежит K, где тоже является s-делимым элементом (поскольку все элементы в согласованной системе частных s-делимы). Таким образом, K(s) = F(s). Согласно доказанному выше, R-модуль K/K(s) = Ext_R¹(R[s⁻¹]/R, K) является R-модулем кокручения. [Но этого мало -- надо бы еще знать, что R-модуль F/F(s) плоский.]