Точная категория A-контраприспособленных С-контрамодулей имеет допустимые коядра?

Пусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Предположим, что левые A-модули C и C⊗_AC имеют проективную размерность ≤ 1. Будем называть A-модуль R контраприспособленным, если Ext_A¹(C,R) = 0 = Ext_A¹(C⊗_AC, R). Очевидно, класс контраприспособленных A-модулей замкнут относительно расширений и перехода к фактормодулю (по любому подмодулю). Поэтому контраприспособленные A-модули образуют точную категорию (с допустимыми коядрами, как легко видеть).

Левые C-контрамодули с контраприспособленными подлежащими A-модулями образуют точную категорию, в которой тройка C-контрамодулей точна тогда и только тогда, когда она точна в категории (контраприспособленных) A-модулей. Если морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей, рассматриваемый как морфизм A-модулей, имеет A-контраприспособленное ядро, то индуцированная структура C-контрамодуля на нем делает его ядром этого морфизма в категории A-контраприспособленных C-контрамодулей. Любой инъективный морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей является допустимым мономорфизмом. Сюръективный морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей является допустимым эпиморфизмом тогда и только тогда, когда его ядро как морфизма A-модулей контраприспособлено.

Нашей целью является доказательство того, что любой морфизм A-контраприспособленных C-контрамодулей P → Q имеет коядро R в аддитивной категории A-контраприспособленных C-контрамодулей, причем морфизм Q → R является допустимым эпиморфизмом. Фактически, рассматриваемый как A-модуль, R будет неким фактормодулем коядра морфизма P → Q, взятого в категории A-модулей.

Пусть K -- ядро, I -- образ, и S -- коядро морфизма A-модулей P → Q. Тогда A-модули I и S контраприспособлены. Отсюда точные последовательности 0 → Hom_A(C,K) → Hom_A(C,P) → Hom_A(C,I) → Ext_A¹(C,K) → 0 и 0 → Hom_A(C,I) → Hom_A(C,Q) → Hom_A(C,S) → 0, из которых мы получаем точную последовательность 0 → Ext_A¹(C,K) → Hom_A(C,Q)/im Hom_A(C,P) → Hom_A(C,S) → 0.

Обозначим через R расслоенное копроизведение морфизмов A-модулей Hom_A(C,Q)/im Hom_A(C,P) → Q/im P = S и Hom_A(C,Q)/im Hom_A(C,P) → Hom_A(C,S) (первый из которых индуцирован отображениями C-контрадействия в P и Q). Тогда имеется точная последовательность A-модулей Ext_A¹(C,K) → S → R → 0. Эквивалентным образом, можно определить R как коядро морфизма контрадействия Hom_A(C,I) → Q.

Из этих описаний ясно, что морфизм Q → R (как и морфизм S → R) сюръективный с контраприспособленным ядром, и имеется естественное отображение Hom_A(C,S) → R. Вопрос в том, факторизуется ли это отображение через Hom_A(C,R). Ясно, что композиция Hom_A(C,Hom_A(C,I)) → Hom_A(C,S) → R равна нулю. Проблема в том, как показать, что сюръективное отображение из Hom_A(C,I) на ядро морфизма S → R или Q → R остается сюръективным после применения функтора Hom_A(S,−).

... На самом деле, из этих рассуждений видно, что коядро морфизма P → Q существует в категории A-контраприспособленных C-контрамодулей и отображение в него из C-контрамодуля Q сюръективно как морфизм A-модулей. Чтобы построить такое коядро, надо трансфинитно итерировать конструкцию перехода к все меньшему фактормодулю, описанную выше. Что неясно, так это будет ли ядро морфизма из Q в полученный таким образом контрамодуль контраприспособленным A-модулем. Вряд ли класс контраприспособленных A-модулей замкнут относительно бесконечных объединений.