Ученическое: плоские покрытия, оболочки кокручения и резольвенты

Пусть R -- кольцо. Все модули ниже по умолчанию левые.

0. R-модуль T называется модулем кокручения, если Ext_R¹(F,T) = 0 для любого плоского R-модуля F, или, эквивалентно, Ext_Rⁱ(F,T) = 0 для любого плоского R-модуля F и всех i > 0.

1. Плоским покрытием R-модуля M называется гомоморфизм R-модулей F → M в M из плоского R-модуля F, такой что любой гомоморфизм в M из плоского R-модуля факторизуется через морфизм F → M и любой эндоморфизм F, образующий коммутативный треугольник с морфизмом в M, является автоморфизмом. Ясно, что плоское покрытие единственно с точностью до изоморфизма, если оно существует.

2. Поскольку во всякий R-модуль есть сюръективное отображение из плоского R-модуля, любое плоское покрытие является сюръективным отображением. Элементарная лемма (Вакамацу): ядро любого плоского покрытия является модулем кокручения.

3. Теорема (Xu "The existence of flat covers over Noetherian rings of finite Krull dimension", Proc. AMS 123 #1, 1995, http://www.ams.org/journals/proc/1995-123-01/S0002-9939-1995-1242111-5/S0002-9939-1995-1242111-5.pdf ): над коммутативным нетеровым кольцом конечной размерности Крулля любой модуль имеет плоское покрытие. Теорема (Bican, El Bashier, Enochs "All modules have flat covers", Bull. LMS 2001): над любым ассоциативным кольцом, любой модуль имеет плоское покрытие. Теорема (Enochs, Oyonarte "Flat covers and cotorsion envelopes of sheaves", http://www.ams.org/journals/proc/2002-130-05/S0002-9939-01-06190-1/S0002-9939-01-06190-1.pdf): над любым пучком колец на топологическом пространстве, любой пучок имеет плоское покрытие и (см. ниже) оболочку кокручения.

4. Следствие: любой R-модуль F, такой что Ext_R¹(F,T) = 0 для любого R-модуля кокручения T, является плоским. (В самом деле, если G → F -- плоское покрытие, то имеется точная тройка T → G → F, где T -- R-модуль кокручения, которая должна расщепляться ввиду условия на Ext, откуда F прямое слагаемое G или, точнее, F = G. Вероятно, то же самое можно доказать проще, т.е., не используя существования плоских покрытий.)

5. Оболочкой кокручения R-модуля M называется гомоморфизм R-модулей M → T из M в R-модуль кокручения T, такой что любой гомоморфизм из M в R-модуль кокручения факторизуется через морфизм M → T и любой эндоморфизм T, образующий коммутативный треугольник с морфизмом из M, является автоморфизмом. Ясно, что оболочка кокручения единственна с точностью до изоморфизма, если она существует.

6. Теорема (Xu "Flat covers of modules", Lecture Notes in Math. 1634, 1996, Theorem 3.4.6): для любого фиксированного кольца R, каждый R-модуль имеет плоское покрытие тогда и только тогда, когда каждый R-модуль имеет оболочку кокручения. Ссылка почерпнута в полезной статье H.-s. Kim and Y.-m. Song "Some remarks on cotorsion envelopes of modules", Bull. Korean Math. Soc. 44 #4, 2007, http://www.mathnet.or.kr/mathnet/thesis_file/01_B05-1116.pdf

7. Поскольку всякий R-модуль вкладывается в инъективный, любая оболочка кокручения является инъективным отображением. Двойственный вариант леммы Вакамацу: коядро любой оболочки кокручения является плоским модулем (должна доказываться так же, если использовать Следствие из п.4. Ссылка: Xu "Flat covers of modules", Section 2.1. Почерпнута в статье: L.Mao, N.Ding, Notes on cotorsion modules, Comm. in Algebra 33, 2005, http://maths.nju.edu.cn:8001/portals/blog/nqding/pdf/Notes%20on%20cotorsion%20modules.pdf ).

Возможно, полезная ссылка на первоначальную работу, с которой все начиналось: Enochs "Injective and flat covers, envelopes and resolvents", Israel J. Math. 39, 1981.

8. Следствия: любой модуль является фактормодулем плоского модуля по модулю кокручения. Любой модуль вкладывается в модуль кокручения так, что фактормодуль плоский. Любой модуль кокручения является фактормодулем плоского модуля кокручения по модулю кокручения. Любой плоский модуль вкладывается в плоский модуль кокручения так, что фактормодуль плоский.