Уроки математики

Я обещал, что буду записывать отдельные выводы из работы Совместного бакалавриата ВШЭ-РЭШ – тем, кто будет строить бакалаврскую программу по экономике или другим общественным наукам, может пригодиться. Конечно, это не полноценное и систематическое обобщение – это мои впечатления от нашего опыта.

(0) Предварительная информация

Сначала – несколько предварительных замечаний, которые нужно сделать, чтобы у тех, кто не погружён в дела нашего бакалавриата, был «контекст».

Несмотря на то, что современному экономисту – независимо от того, продолжит ли он учиться после бакалавриата «на учёного» или пойдёт работать (как, я думаю, планирует минимум половина наших студентов) – невозможно обойтись без математики, нет возможности посвящать обязательной математике больше четверти времени, то есть 6 академических часов в неделю. Таким темпом вся обязательная математическая программа укладывается в пять семестров (Анализ-1, Линейная алгебра, Анализ-2, Теорвер и статистика, Эконометрика) + довольно много математических и математизированных (финансы, дополнительная эконометрика и т.п.) курсов по выбору.

У нас очень сильные ребята – 2/3 наших 63 человек – победители и призёры всероса по экономике, есть призёр всероса по математике, победители и призёры математических олимпиад и выпускники сильных матшкол.

Часть нашего опыта трудно «реплицировать» – в частности, потому что мы расходовали много сил/времени квалифицированных преподавателей. У нас был лектор (2 лекции в неделю), три группы с семинаристами (1 семинар + дополнительная консультация для желающих, ходило много народу), два дополнительных официальных ассистента – один занимался с тем, кто пытался узнать больше, по «дополнительным листочкам», другой – круглосуточно отвечал на вопросы по электронной почте (лектор тоже отвечал всем – в РЭШ принято тесное общение между профессорами и студентами).

(1) Разброс в начальной подготовке

Со следующего года будем давать возможность сдавать экзамен по курсу «Анализ-1» перед 1-ым семестром. Те, кто захочет сдавать и сдаст, смогут слушать, если захотят, «Анализ-2», курс 3-го семестра, сразу в своём 1-ом семестре. (Если не захотят, смогут слушать лишний курс по выбору в 1-ом семестре, а «Анализ-2» - со своим курсом через год.) В этом году оказалось, что самым сильным ребятам, которые проходили основы матанализа в школе (нормальный маткласс покрывает как раз примерно первый семестр), было скучно. Это, конечно, неудивительно с учётом разброса начальных знаний по математике (в частности, среди призёров всероса по экономике есть люди с очень разным математическим уровнем). Мы же всё делали для того, чтобы человек, не учившийся в матклассе, но способный много работать, выходил на достаточно высокий (см. ниже) уровень.

Помимо обязательных курсов (математика, экономика, английский), студенты СБ должны выбирать 2-3 из 5 курсов «по выбору». У нас в первом семестре 2011-12 был математический курс «Введение в топологию», который читали Юрий Кудряшов и Наталья Гончарук , а в 2012-13 в первом семестре будет «Введение в высшую алгебру», которую будет читать Сергей Локтев с матфака ВШЭ. (Поскольку такой курс могут слушать и студенты 1-го года обучения и 2-го, мы будем первое время – пока у нас не будет нескольких математических курсов по выбору – менять «математический курс по выбору первого семестра». В 2013-14 можно будет снова сделать топологию, или, например, курс по книжке Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях».)

(2) Основной учебник

Использовались два учебника: Stewart “Calculus. Early Transcendentals”, в котором есть наброски основных доказательств и Зорич «Математический анализ», лучший мехматский учебник, в котором всё совершенно строго.

Выбор Стюарта был продиктован следующим соображением: от курса «Анализ-1» нам нужно, чтобы большая часть (90%) знаний и навыков, полученных в нём, была усвоена всеми студентами. То есть важным «целевым показателем» были знания худших из тех, кто получил «удовлетворительно». В этом есть принципиальное отличие от наших лучших математических факультетов в стране (и от того, как преподаётся математика во многих вузах) – там не только «худшим», но и «средним» уделяется мало внимания; основной показатель, де-факто, качество «лучших». К сожалению, на русском языке я не знаю ни одного учебника, который бы (а) выполнял функцию «минимума по матанализу» и (б) был бы достаточно современным с точки зрения организации и подачи материала, упражнений, использования графических и электронных средств и т.п. По первому семестру Стюарт справился со своей задачей.

Учебник Зорича – наиболее современный учебник матана «мехматского» уровня на русском языке. Проблема в том, что в мехматской программе математике уделено гораздо больше часов (и курсу матанализа в частности), поэтому для наших задач он слишком «объёмный» и слишком «глубокий». (Для того, чтобы те, кто не учился в матклассе, а таких было большинство, усвоили «основы анализа» - ну, чтобы им можно было доказывать, а не объяснять, лемму Гейне-Бореля, скажем, нужно просто намного больше времени.)

(3) «Размазанный» контроль

Мы использовали тот же самый подход к «контролю знаний», который стандартно используется в РЭШ и на многих факультетах ВШЭ. 7-8 обязательных домашних заданий, которые тщательно проверяются, самостоятельные и две контрольных в течение семестра. «Финального экзамена» нет вообще; всё письменное.

Первое преимущество того, что контроль «размазан» по семестру, состоит в том, что студент не может ни насколько выключиться из процесса. В магистратуре РЭШ в первых модулях пропуск выпадение на неделю может оказаться «смертельным». Второе преимущество состоит в том, что профессор и ассистенты всё время знают, что усвоено, а что – нет. (Рискуя повториться – мне кажется тот факт, что лекторы читают слишком сложный материал, а студенты его не понимают и сдают, не понимая, основной проблемой преподавания математики на нематематических специальностях.)

Все обязательные задания - домашки примерно раз в две недели, контрольные и самостоятельные – были письменными, но задачи дополнительных листочков (тем, кто хотел получить не максимальные 10, а больше баллов) можно было сдавать и устно. Без студентов-старшекурсников матфака этого было, конечно, не сделать.

(4) Домашние работы в электронной форме

Лектор, Ирина Хованская, с первого дня потребовала, чтобы все домашние задания сдавались в электронной форме (у нас в РЭШ есть веб-система общения профессоров и студентов по каждому курсу, в которой и те, и другие могут загружать файлы, задания, оценки, и т.п.; ВШЭ, насколько я понимаю, сейчас вводит аналогичную систему). В первый момент это показалось ребятам сложным делом – надо было использовать какой-то из TeX редакторов, Microsoft Equation в Word или что-то подобное, но к концу семестра все стали сдавать 5-10 страничные задания без всяких проблем. Теперь преподаватели всех курсов могут использовать уже освоенный навык; для Микро-1, например, это существенное упрощение дел.

Кроме того, в файле гораздо легче сдавать задания, выполненные в Wolfram Alpha или другой программе построения графиков и работы с формулами (в Scientific Workplace, мою любимую программу, с которой сейчас легко взаимодействует MikTeX – то есть всё можно делать на русском, встроен Mapple), а нам казалось это важным, чтобы ребята сразу, изучая теоремы Лагранжа и Ролля, работали с элементарными математическими пакетами.

Наконец, домашки, сданные в электронной форме, легче проверять – и потому, что нет проблем с «распознаванием» формул; сдающему легче редактировать текст, который он написал (например, убрать ненужные промежуточные выкладки – я, например, использую Mapple, когда решаю какую-то модель, и промежуточных выкладок, бывает, страницы). И сильно упрощается логистика – проверяющий задачи может работать из дома; легко соблюдать сроки, потому что веб-система сама прекращает возможность загрузки файлов в заранее определённый момент.

Но – и это важно! – главная идея сдачи домашних заданий по математике в электронном виде состоит не в том, что это удобно сдавать=проверять, а в том, что это с самого начал приучает студентов к тому, что в решении задачи, даже самой математически элементарной, запись решения, понятная и удобная для чтения – важная и нетривиальная часть работы.

(5) Проблемы списывания

Теоретически электронная форма сдачи домашек облегчает списывание, но у нас этого не произошло. (Электронная форма также облегчает проверку на плагиат и списывание.) Во-первых, в этой программе очень заметно, что студенты, хотя занимаются вместе, сдают задания по отдельности. Правила у нас довольно жёсткие: выговор за первый случай плагиата или списывания в домашнем задании, и отчисление – за второй, но дело не в жёсткости, мне кажется. Если лектор внимательно читает каждое эссе, а семинаристы тщательно проверяют домашки, то плагиат/списывание имеет мало смысла.

Во-вторых, мы делали все задания «индивидуальными». (Задания - основные и дополнительные можно посмотреть вот здесь.) То есть, например: задача проанализировать функцию на экстремумы – текст у всех одинаковый, а функции разные. Эти разные функции (различающиеся, например, коэффициентами при степенях переменной) генерировались специальной программой, которая также генерировала ответы для проверяющих. В этой ситуации списывание имеет смысл только такой, что ты берёшь чужое решение и проделываешь те же самые шаги для «своей» функции. Это, конечно, не то же самое, что самостоятельная работа, но хоть что-то при этом студент осваивает. (Был один случай, когда студент сделал Copy & Paste всего, кроме формул – мы предупредили, что так делать нельзя; это, конечно, не совсем «списывание» - задачу-то он решил свою.)