Об уровне общности

Гомологическая алгебра, теория категорий -- это такой взгляд на математику с высоты птичьего полета. Если еще на саму гомологическую алгебру или теорию категорий с высоты птичьего полета смотреть, становится уже трудно разглядеть что-нибудь интересное.

"Трудно" не значит "невозможно", но, в общем, все современные крупные специалисты по этим предметам, имена которых приходят в голову, занимаются не просто гомологической алгеброй и теорией категорий, но во взаимодействии и с приложениями к какой-то более предметной области. Для А.Н. это алгебраическая геометрия, для Х.К. -- представления конечномерных алгебр и модулярные представления конечных групп, для Дж.Л. -- алгебраическая топология, для Б.Т. -- производная алгебраическая геометрия (вероятно), Б.К. теперь занимается кластерными алгебрами и колчанами, и т.д.

Может быть, кто-то умеет размышлять про произвольную абелеву категорию, модельную категорию и (бесконечность,1)-категорию, но лично мне этот уровень общности всегда казался пугающе завышенным. Отдельные утверждения на этом уровне я могу доказывать, конечно, но размышлять предпочитаю про модули или комодули, когерентные пучки или конструктивные пучки, проконечную группу или нетерову схему, квази-когерентную алгебру или тейтовскую алгебру Ли, неоднородную кошулеву алгебру или неоднородную кошулеву коалгебру -- в общем, что-нибудь, у чего есть "мясо", а не одни только сухие кости. Это примерно тот уровень, на котором формулируются основные результаты.

Конечные задачи и основные объекты, которыми занимается математика, живут еще на уровень ниже -- числовое поле, схема конечного типа над спектром Z, алгебраическое многообразие, кольцо дифференциальных операторов, гладкое компактное многообразие, конечная группа, редуктивная алгебраическая группа. Где-то на этом уровне следует, на мой взгляд, искать и самые интересные задачи гомологической алгебры. Поэтому я пишу статьи не про коалгебры и нетеровы схемы, а про мотивные пучки и матричные факторизации, кошулевы алгебры и абсолютные группы Галуа.

С другой стороны, когда за деревьями не видно леса, конечно, тоже трудно жить, и в этом смысле я не умею серьезно думать про квадратичную форму, квантовую группу, трехмерное алгебраическое многообразие, изолированную особенность, алгебраическую группу серии D, квадратичное расширение поля рациональных чисел или алгебру Склянина. Не то, чтобы я никогда не пытался -- иногда приходится, но мало что у меня из этого получается.