Когерентные CDG-модули, открытая подсхема, замкнутое дополнение - 1

Пусть (B,d,h) -- нетерова квазикогерентная CDG-алгебра на нетеровой схеме X, и пусть T⊂X -- замкнутое подмножество, U⊂X -- дополнение к T, рассматриваемое как открытая подсхема, Т⊂X. Пусть B-coh обозначает точную DG-категорию CDG-модулей над B, а B-coh_T -- точную подкатегорию в B-coh, состоящую из CDG-модулей, подлежащие градуированные B-модули (или даже, лучше сказать, O_X-модули) которых имеют теоретико-множественный носитель в T. Обозначения B-qcoh и B-qcoh_T имеют аналогичный смысл применительно к квазикогерентным CDG-модулям.

Пусть B-qcoh_inj обозначает DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых инъективны; B-qcoh_T,inj -- DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых имеют теоретико-множественный носитель в Т и инъективны по отношению к абелевой категории градуированных B-модулей с таким носителем.

Лемма 1. a) H⁰(B-qcoh_inj) → D^co(B-qcoh) -- эквивалентность триангулированных категорий.
б) H⁰(B-qcoh_T,inj) → D^co(B-qcoh_T) -- эквивалентность триангулированных категорий.

Доказательство: см. раздел 3.7 книжки Two kinds of derived categories... Важно только, что прямые суммы градуированных B-модулей соответствующего класса точны и сохраняют инъективность. Последнее имеет место в силу локальной нетеровости категории квазикогерентных градуированных B-модулей (с ограничением на носитель или без такового).

Лемма 2. a) D^abs(B-coh) → D^co(B-qcoh) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.
б) D^abs(B-coh_T) → D^co(B-qcoh_T) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.

Доказательство: аналогично разделу 3.11 книжки Two kinds of derived categories...

Следующая лемма доказывается в предположении, что свойство инъективности квазикогерентных градуированных модулей является локальным для всех квазикогерентных градуированных алгебр, для которых нам это может понадобиться (см.)

Лемма 3. а) D^abs(B-coh_T) → D^abs(B-coh) -- вполне строгий функтор.
б) D^co(B-qcoh_T) → D^co(B-qcoh) -- вполне строгий функтор.

Доказательство: пункт а) следует из леммы 2 + пункта б), а пункт б) следует из леммы 1 + того факта, что инъективный объект в категории квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в T является в то же время и инъективным объектом в категории произвольных квазикогерентных градуированных B-модулей.

Последний факт выводится из леммы Артина-Риса следующим образом. Во-первых, вазикогерентный градуированный B-модуль J с носителем в T является инъективным объектом в своей категории тогда и только тогда, когда для любой структуры Z замкнутой подсхемы на T максимальный подпучок J, аннулируемый пучком идеалов Z, является инъективным квазикогерентным градуированным модулем над ограничением B на Z. Поэтому локальность инъективности квазикогерентных модулей над ограничениями B на замкнутые подсхемы (вместе с возможностью продолжения структур замкнутой подсхемы на данном замкнутом подмножестве с его пересечений с открытыми подсхемами) влечет локальность инъективности квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в Т. Поэтому вопрос сводится к случаю аффинной схемы.

Пусть теперь имеется коммутативное нетерово кольцо R, в нем идеал a, над ним алгебра B, над B модуль J с теоретико-множественным носителем в множестве нулей a, инъективный в классе таких. Пусть имеется конечно-порожденный B-модуль N и его подмодуль M, и гомоморфизм B-модулей φ: M → J. Поскольку M и a конечно порождены, найдется такое натуральное m, что φ факторизуется через M/a^mM. Согласно лемме Артина-Риса для идеалов, порожденных центральными элементами в некоммутативных нетеровых кольцах (см.), найдется такое натуральное n, что M ∩ aⁿN ⊂ a^mM. Теперь остается продолжить гомоморфизм B-модулей в J с M/(M∩aⁿN) на N/aⁿN; оба последних B-модуля имеют теоретико-множественный носитель в множестве нулей a, так что это можно сделать.