Размышляя над своей собственной статьей про мотивные пучки Артина-Тейта

Продолжение http://posic.livejournal.com/632588.html и http://posic.livejournal.com/559763.html

0. "Надежда", высказанная в первом постинге по ссылке, пока что не подтверждается. Я не вижу, чтобы конкретные рассуждения из моего текста где-либо использовали неособость. Но может быть, это и к лучшему, потому что

1. Давно и хорошо известно, в т.ч. мне, что задача, которую в соответствующей частной ситуации пытается решать эта статья, в общем случае неразрешима в принципе. Найти для триангулированной категории с выделенным классом объектов точную категорию, порожденную объектами этого класса, в которой Ext-у между объектами этого класса были такими же, как в исходной триангулированной, вообще говоря, невозможно. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы этого можно было сделать, является (i) отсутствие отрицательных Ext-ов + (ii) наличие глупых фильтраций ("K(π,1)-гипотеза").

2. В этой ситуации удивительно не то, что при попытке решения неразрешимой задачи возникают трудности, а тому, что до возникновения трудностей удается так далеко продвинуться. На самом деле, в статье объясняется, что (в предположении K(π,1)-гипотезы для мотивов А.-Т. над полями) такие трудности, в конечном итоге, могут возникать только в связи с особыми многообразиями (с которыми приходится иметь дело, даже если интересуют только гладкие, поскольку основная теорема Зарисского в форме Гротендика производит на свет особые многообразия).

3. Реально в статье доказывается, что Ext-ы между тейтовскими сдвигами мотивов произвольных квазиконечных многообразий над X (в качестве первого аргумента) и мотивов неособых конечных многообразий над X (в качестве второго аргумента) в точной категории A.-T. мотивов такие же, как в триангулированной категории мотивов, для любого многообразия X (в предположении К(π,1)-гипотезы для мотивов А.-Т. над полями). Если подставить в качестве второго аргумента мотив особого конечного (или этального, не факторизующегося через неособое конечное) многообразия над X, утверждение, видимо, в общем случае перестает быть верным. (Поскольку мало правдоподобно, чтобы "мотивные" когомологии особых многообразий, посчитанные по правилу этального спуска Бейлинсона-Лихтенбаума для топологии Нисневича, пусть даже только с конечными коэффициентами, удовлетворяли cdh-спуску, которому должны удовлетворять настоящие мотивные когомологии.)

4. Однако, оно, видимо, остается верным для кривых, поскольку в случае кривых можно обойтись неособыми многообразиями в основной теореме З. в форме Г. (т.к. разрешение особенностей кривой является конечным морфизмом). Кажется, отсюда должно следовать, что K(π,1)-гипотеза для мотивов А.-Т. над полями влечет такую же гипотезу для мотивных пучков А.-Т. над кривыми (может быть, даже особыми). Что помимо рассуждений из моей работы выглядит совершенно неочевидным.

5. Не пора ли формулировать в явном виде гипотезу, что точная категория, которая у меня строится, эквивалентна точной подкатегории в триангулированной категории мотивных пучков, порожденной мотивными пучками А.-Т.? Понятно, что вопрос об определении последней может не быть к настоящему времени вполне ясен для специалистов, но по существу можно считать, что это другой вопрос?

6. Не пора ли отбросить предположение неособости базовых многообразий в большинстве определений и формулировок в статье? Все равно же все сопряженности имеют место для точных категорий мотивов А.-Т. над произвольными многообразиями, и особые многообразия возникают в основной теореме З. (и их мотивы порождаются мотивами неособых многообразий или многообразий, этальных над базовым), так что уж теперь?