Другие новости от fregimus.livejournal.com
Реклама на проекте
По геометрическим местам
Sunday, 03 April, 15:04,
fregimus.livejournal.com
Аристотель полагал такую возможность абсурдной.
Интересно мнение и математиков, и естественников, и гуманитариев. Я знаю, что математики сейчас вспомнят Лебегову меру, и все сделается интуитивно просто и естественно. Но совсем недавно, до самого конца в XIX в., даже слов таких еще не было. Как бы без них, а обычной, не математической интуицией обойтись?
Прямую линию в геометрии не определяют, но окружность имеет определение.
Окружность есть множество точек, равноудаленных от данной.
Здесь используется операционное понятие множества. Хотелось бы без него. Попробуем так:
Окружность есть геометрическое место (locus, τόπος) точек, равноудаленных от данной.
Геометрическое место определяется предикативно, не через собирание всех входящих в него точек, а через описание свойства любой из них (не все точки, равноудаленные от данной, образуют собою окружность, но любая точка, принадлежащая окружности, равноудалена от данной). Но это определение, хотя и приводится в классических учебниках, но, на мой взгляд, хромает: две окружности одного радиуса не обязательно одинаковы, даже если их границы являются плотными множествами точек. Как бы еще это разрулить? Плотная, но не непрерывная линия — тоже не очень интуитивное понятие. Аристотель бы не одобрил.
Евклид: Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν (1, 15). Σχῆμα ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον (1, 14). Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας (1, 13).
То есть, круг есть плоская фигура, ограниченная одной линией, обладающая тем свойством, что одинакова длина всех/каждой (πᾶσαι) прямой, падающей на нее из одной точки внутри фигуры. Фигура (σχῆμα) — это то, что содержится внутри границы или границ, а граница (ὅρος) — край/предел (πέρας) чего угодно. Иными словами, у Евклида — геометрическое место, а не множество.
Не представляю себе, насколько современному человеку естественно понятие множества точек, составляющих линию. Для меня, испорченного математикой, оно естественно вполне. Для Аристотеля это было нелепостью. Евклид аккуратно обходит острые углы.
Комментарии (0)