Поиск публикаций  |  Научные конференции и семинары  |  Новости науки  |  Научная сеть
Новости науки - Комментарии ученых и экспертов, мнения, научные блоги
Реклама на проекте

Квазилогарифмический коцикл - 3

Friday, 07 January, 23:01, posic.livejournal.com
Кому как, а лично для меня, линейный оператор, логарифм которого всю жизнь хотелось, но обычно не получалось взять -- это, конечно, оператор монодромии вокруг выброшенного дивизора. В проконечном контексте, речь идет о группе Галуа поля дискретного нормирования.

Пусть K -- гензелево (скажем, полное) поле дискретного нормирования и k -- его поле вычетов, характеристики, отличной от l. Тогда абсолютная группа Галуа Gk есть факторгруппа абсолютной группы Галуа GK по группе инерции I. Последняя есть произведение своих силовских подгрупп, из которых нас интересует силовская про-l-подгруппа Il. Это группа слабого l-ветвления, канонически изоморфная проективному пределу Zl(1) групп lN-корней из 1 в алгебраическом замыкании k (в силу условия на характеристику k).

Пусть V -- GK-модуль, конечно-порожденный над кольцом целых l-адических чисел. Предположим, что Тогда Il действует на V унипотентными операторами операторами, унипотентными по модулю любой степени l. Мы хотели бы получить из этого действия отображение V(1) → V, эквивариантное относительно GK (так, чтобы ядром и коядром этого отображения были инварианты и коинварианты действия Il на V). Если бы у нас был логарифм, мы бы просто написали v ⊗ x → log(x)(v), но логарифма x не существует.

Что же делать? Смириться с тем, что вместо одного такого оператора у нас будет целое семейство операторов Rx, коммутирующих с действием GK, но зависящих от выбора образующей x в Il. Хуже того, областью определения оператора Rx будет не GK-модуль V(1), а некоторое его скручивание V(1)x, тоже зависящее от x. При замене образующей x на xm, где m ∈ Zl*, будет появляться однозначно определенный изоморфизм между GK-модулями V(1)x и V(1)xm, трансформирующий Rx в Rxm.

Как Zl-модули, V(1) и V(1)x совпадают, но действие GK на них различно. А именно, чтобы получить действие элемента g из GK на V(1)x, надо умножить оператор действия g в V(1) слева на унипотентный оператор ψ(x,χ(g)), т.е. ρx(g) = ψ(x,χ(g))ρ(g), где χ: GKZl* -- циклотомический характер (который, естественно, факторизуется через Gk). Оператор Rx есть просто v ⊗ x → (x−1)v. Наконец, изоморфизм V(1)x → V(1)xm задается оператором ψ(x,m)−1.

Напоследок заметим, что над рациональными l-адическими числами, где log(x) существует, отображение V(1) → V(1)x, задаваемое унипотентным оператором 1 − (x−1)/2 + (x−1)2/3 − … (ряд для log(z)/(z−1) в окрестности z=1 с подстановкой z=x) отождествляет все модули V(1)x с V(1) и операторы Rx с изначально чаемым нами R(v⊗x) = log(x)(v).

Надо только формулы перепроверить...

9.01.11 - Update. Что-то весь этот сюжет у меня очень медленно дебагится. С чего это я решил (повторяется многократно в постингах на эту тему), что группа инерции есть произведение групп дикого и слабого ветвления? На самом деле, дикое ветвление там нормальная подгруппа, и прежде чем применять конструкцию выше, надо взять относительно нее инвариантны. Другое дело, если заведомо известно, что группа инерции действует унипотентно. Тогда действие группы дикого ветвления заведомо тривиально, как и действие всех компонент группы слабого ветвления, кроме l-компоненты. Или я опять чего-то путаю?
Читать полную новость с источника 

Комментарии (0)