Вред от математических теорем в теоретической физике

Я все больше убеждаюсь, что ущерб, наносимый так называемыми математическими теоремами в теоретической физике, перевешивает пользу от них. Изучая литературу по космологии, нахожу такой пример: классическая статья группы Роберта Дикке (перевод здесь: https://don-beaver.livejournal.com/270091.html ). В 1965 году они интерпретировали реликтовое излучение в рамках циклической модели Вселенной (что, уверен, правильно), но спустя несколько лет они засомневались в этой модели, потому что математиком Пенроузом были доказаны математические теоремы о неизбежности сингулярности в теории гравитации Эйнштейна. Как пишет Дикке в своей книжке: «…первоначальная интерпретация наших наблюдений теплового космического излучения сейчас представляется сомнительной. …Дело в том, что в математическом решении возникает синуглярность. …сингулярность представляется неизбежной в рамках используемой теории» («Гравитация и Вселенная», 1972).

То есть математические теоремы Пенроуза внушили мысль об ограниченности классической ОТО и подтолкнули ученых на бесплодные (по крайней мере, для космологии) поиски квантовой гравитации. Эти условные математические теоремы, которые были обставлены целым рядом физических предположений (что осталось почти незамеченным), смутили многих космологов и задержали развитие правильной теории Вселенной на десятилетия. И какая тогда польза от математических теорем в теоретической физике?

Математика – это наука об абстрактных объектах и об их взаимоотношениях. Математическая теорема – это вечное абсолютное знание. Если Пифагор доказал свою теорему про штаны, так эта теорема уже тысячи лет истинна и таковой останется навсегда. Как и теорема Ферма и ее доказательство. Именно поэтому у математических теорем высочайший уровень доверия – с математикой могут спорить только сумасшедшие.

Но как только мы уходим из области чистой математики в область теоретической физики, где много математических уравнений (отчего возникает соблазн формулировки и доказательств математических теорем), то ситуация кардинально меняется. Математические теоремы, доказанные в теоретической физике, имеют совсем другой уровень истинности.

Математические теоремы, при всей сложности их доказательств, обычно формулируются о достаточно простых утверждениях – типа теоремы Ферма, которая рассматривала квадраты целых чисел. Математические дифференциальные уравнения физических теорий ГОРАЗДО сложнее обычных объектов математических теорем: например, уравнения небесной динамики, гидродинамические уравнения Навье-Стокса, уравнения гравитации Эйнштейна. Могу вспомнить знаменитую КАМ-теорему об устойчивости орбит планет в Солнечной системе, как пишет Вики: «примерно следующего содержания: «если массы планет достаточно малы, эксцентриситеты и наклоны орбит малы, то для большинства начальных условий (исключая резонансные и близкие к ним) движение будет условно-периодическим, эксцентриситеты и наклоны будут оставаться малыми, а большие полуоси будут вечно колебаться вблизи своих первоначальных значений».
Но эта теорема относится только к системе трёх тел, а планет гораздо больше, кроме того в Солнечной системе есть резонансы! Это теорема была доказана с таким количеством предположений, что имеет слабое отношение к реальности. И когда компьютеры смогли промоделировать динамику планет в лоб (и с учетом резонансов), то они оказались далеки от устойчивости. КАМ-теорема стала просто математической областью, далекой от реальной физики. Такая же ситуация и с теоремами в области ОТО, включая теоремы Пенроуза.

В этих рассуждениях нет ничего нового: достаточно заглянуть в ВИКИ «Теорема» как увидим правильные мысли: «Теоремы в математике и теории в науке принципиально отличаются по своей эпистемологии. Научная теория не может быть доказана; её ключевой атрибут заключается в том, что он фальсифицируется, то есть он делает предсказания о мире природы, которые можно проверить экспериментально. Любое несоответствие между предсказанием и экспериментом демонстрирует неверность научной теории или, по крайней мере, ограничивает её точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, являются чисто абстрактными формальными утверждениями: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические доказательства так же, как эти доказательства используются для поддержки научных теорий».

Итак, математические теоремы в теорфизике имеют ограниченное применение по двум причинам:
1. Физическая теория, в рамках которой формулируется математическая теорема, принципиально неполна и может быть заменена в будущем на более полную и точную теорию.
2. Доказанная теорема обычно обставляется рядом условий (в рамках рассматриваемой физической теории), смысл которых далеко на прозрачен, и которые как угодно далеко могут увести теорему от реальности.

Помнится, когда газета.ру спросила Павла Иванова, что он думает про нашу с Васильковым работу по отталкивающей гравитации, то он сразу заявил, мол, есть теорема, что это невозможно… Это при том, что он работу не читал, а если и заглянул, то не понял.
Когда вы видите, что кто-то козыряет математическими теоремами в теоретической физике, то знайте, что это или не очень умный физик, или очень умный, но математик. Эти строгие математические теоремы о нестрогих физических теориях стоит называть физическими теоремами или еще как-то. Но никак не переоценивать их значение и не путать их с абсолютным математическим знанием и теоремами Пифагора и Ферма. Эта путаница очень дорого обходится.