Парадокс близнецов

Всем, я думаю, известен знаменитый парадокс близнецов. Но на всякий случай – кратко его напомню: есть два близнеца, один из которых остается на Земле, а другой – улетает на звездолете, который летит с околосветовой скоростью. В соответствии с формулами СТО, улетевший близнец будет стареть медленнее, и вернется на Землю полный сил, в то время, как оставшийся близнец превратится в дряхлого старика.

Но, с другой стороны, по принципу относительности мы можем сказать, что, наоборот, это Земля улетает, а звездолет остается на месте. Значит, дряхлым стариком должен стать как раз близнец на звездолете.

Такова суть парадокса. И решение его известно: равноправны только инерциальные системы отсчета, звездолет же, чтобы вернуться к Земле, должен будет рано или поздно затормозить, повернуть, а потом снова разогнаться. И в эти моменты он будет испытывать ускорения – а значит, связанная с ним система отсчета станет неинерциальной.

Однако это все слова, а можно ли на уровне формул показать, что рассмотрение с точки зрения улетающего звездолета и с точки зрения "улетающей" Земли даст в итоге одинаковые численные результаты?

Лет 13 назад, на почившем сейчас форуме Нуль-Т сайта Русской Фантастики в ходе одного жаркого спора я эти вычисления таки проделал. Кому интересно – добро пожаловать под кат.



Сначала рассмотрим ситуацию с точки зрения остающегося на Земле близнеца. Система отсчета, связанная с ним, инерциальна, так что в данном случае мы можем пользоваться формулами СТО

Для промежутка времени, измеренного в этой системе, получаем:

Где:

- время разгона ракеты, - время свободного полета, - время торможения, - время нового разгона, - время свободного полета в обратном направлении, - время торможения на финише.

Из соображений симметрии: .

Таким образом:



Аналогично для ракеты:



Для времени свободного полета, разумеется, выполняется классическое соотношение:



(время замедляется для близнеца на ракете)

Теперь, что касается времени разгона и торможения.

Величина 4-ускорения ракеты является постоянной величиной в любой инерциальной с.о., относительно которой движется ракета, и равняется ее 3-ускорению (a) в собственной с.о.

Раскрытие выражения для 4-ускорения в инерциальной с.о, связанной с остающимся близнецом, приводит к следующему выражению:



Или же:



Полагая v = 0 при t = 0, получаем const = 0.

Собственное же время ракеты задается следующим интегралом:



Из этого соотношения (вместе с формулой



получающейся путем еще одного интегрирования (1)) можно рассчитать, кстати, такой, кажущийся поразительным, факт, что при постоянном ускорении всего в одно g можно облететь всю видимую Вселенную за время жизни одного поколения на ракете.

Выражение (2) можно переписать в следующем виде:



Или же, воспользовавшись формулой (1):



А если принять во внимание, что:



(по определению), то



Или же:



Устремляя при постоянной скорости (v) ускорение к бесконечности (чтобы как можно быстрее набрать или сбросить эту скорость), получим, что должно стремится к нулю. Из формулы (1) аналогичный вывод получаем и для .

Выписываем:



То есть:



Окончательно:



как и должно быть.


Теперь проведем рассмотрение с точки зрения "неподвижной" ракеты и "улетающей" Земли.

В этой системе отсчета (собственной системе отсчета ракеты) она, как уже было сказано, неподвижна, зато в данной с.о. возникает (в силу принципа эквивалентности ОТО) эффективное гравитационное поле, в котором и "падает" наблюдатель на Земле (в отрицательном направлении оси x).

Во время первоначального разгона скалярный потенциал данного эффективного гравитационного поля описывается следующей формулой:



где - компонента 11 метрического тензора g.

При свободном движении ракеты гравитационное поле отсутствует. А когда приходит время промежуточного торможения, выражение для потенциала принимает следующий вид (так как ускорение имеет обратный знак):



Таким образом, задача перестает быть полностью симметричной. И:

(n - то есть рассматриваем в неинерциальной системе)

где - время начального разгона, - время свободного полета, - время промежуточного торможения.

Так как в собственной системе отсчета ракеты x = 0, то и гравитационной потенциал тоже всё время равен 0, и для по-прежнему имеем:



Получим теперь уравнение движения для "падающего" близнеца.

Общее выражение для уравнения движения в контравариантом виде:



Здесь Г - так называемые "символы Кристофеля" (коэффициенты связности). Эти коэффициенты выражаются через метрический тензор, и в пространстве-времени Минковского (, остальные нулевые) равны 0, так что в случае свободного полета получаем привычное уравнение движение СТО:



Во время же разгона и торможения компоненты метрического тензора следующие:

, остальные нулевые (по-прежнему), а вот

Расписывая уравнения движения при таком метрическом тензоре, получаем:



Решая это уравнение с начальными условиями при , получаем:



Скорость:



Время:



(в данном случае - время "падающего" вместе с Землей близнеца, t - близнеца на ракете)

Таким образом, для времени первоначального разгона из (4) получаем ():



Или, аналогично получению формулы (3):



Крайне легко видеть, что при стремлении a к бесконечности стремится к нулю.

Для времени промежуточного торможения (, где l - "глубина", на которую "упал" ко времени начала торможения близнец на Земле, ):



А вот здесь, как мы видим, даже при стремлении ускорения к бесконечности промежуток времени не стремится к 0, а, вместо этого, стремится к постоянной величине - и это является принципиальным отличием от выводов СТО.

Этот, кажущийся удивительным, результат обусловлен влиянием на часы "падающего" близнеца скалярного гравитационного потенциала , который при стремлении ускорения к бесконечности тоже стремится к бесконечности.

Окончательно получаем:





(теперь ситуация "обратная" - с точки зрения близнеца на ракете во время свободного полета время замедляется как раз на Земле).

Так как:



то:



Промежуточные торможение и разгон:



То есть:



(то, что "падающий" вместе с Землей "теряет" во время свободного полета, возмещается при промежуточном торможении и новом разгоне - на эффектах ОТО).

(по-прежнему)

Таким образом, и в этом случае:



Окончательно получаем, что загадка "парадокса близнецов" успешно решена - независимо от того, будем мы вести рассмотрение с точки зрения Земли или же ракеты - стареть будет меньше близнец на ракете.

Особенно интересно при этом выглядит рассмотрение с точки зрения ракеты - да, во время свободного полета стареть будет меньше близнец на Земле, зато во время промежуточных разгона и торможения процесс старения этого близнеца стремительно ускоряется, догоняя, а затем и перегоняя близнеца на ракете.