Add(M) и проективные контрамодули - 2

Для любого объекта M в аддитивной категории A с произвольными прямыми суммами, обозначим через Add(M) полную подкатегорию в A, состоящую из всех прямых слагаемых прямых сумм копий объекта M.

Теорема. Пусть A -- локально слабо конечно-порожденная абелева категория и M -- произвольный объект в A. Тогда аддитивная категория Add(M) эквивалентна аддитивной категории проективных левых контрамодулей над топологическим кольцом R (построенным в первом постинге этой серии http://posic.livejournal.com/1259548.html ).

Доказательство: ввиду изложения во введении к 1512.08119, нужно показать, что монада T(S) = A(M, M^(S)) на категории множеств изоморфна монаде, связанной с топологическим кольцом R. Естественные отображения из прямых сумм в прямые произведения M^(S) → M^S являются мономорфизмами в категории A согласно предыдущему постингу, так что отображения множеств T(S) → ∏_s∈S T({s}) инъективны.

Опишем образ этого отображения. Если морфизм M → M^S факторизуется через M^(S), то для любого слабо конечно-порожденного подобъекта E ⊂ M композиция E → M^S факторизуется через вложение M^U → M^S для некоторого конечного подмножества U ⊂ S. Обратно, пусть M → M^S -- отображение, обладающее таким свойством по отношению ко всем слабо конечно-порожденным подобъектам E в M. Тогда композиция ⊕_E E → M → M^S факторизуется через вложение M^(S) → M^S, и поскольку ⊕_E E → M -- эпиморфизм, так же факторизуется и отображение M → M^S.

Мы показали, что T(S) как подмножество в ∏_s∈S T({s}) состоит из всех тех семейств элементов кольца R = Т({*}), индексированных множеством S, которые сходятся к нулю в топологии R. Наконец, совсем нетрудно видеть, что отображение суммирования Σ_S: T(S) → R, индуцированное естественным отображением M^(S) → M, есть отображение суммирования сходящихся к нулю семейств элементов в топологии кольца R. Теорема доказана.

(Ср. с доказательством теоремы в последнем разделе 3.6 обзорного препринта "Contramodules".)