Место категорий контрамодулей в рамках общей теории категорий - 2

Развитие постинга http://posic.livejournal.com/1226392.html ; см. также фейсбучную английскую версию https://www.facebook.com/posic/posts/1199839513364214

Абелева категория с достаточным количеством проективных объектов восстанавливается по своей полной подкатегории проективных объектов (конкретная конструкция, осуществляющая такое восстановление, обсуждается в неаддитивном контексте в серии работ Vitale, где это называется "конструкцией точной категории по слабо точной слева категории", и в аддитивном контексте работах Crawley-Boevey и Краузе, где это называется "категорией когерентных функторов").

Поэтому, в самом деле, можно утверждать, что всякая абелева категория с одним конечно порожденным/конечно представимым проективным образующим объектом эквивалентна категории модулей над кольцом (правых модулей над кольцом эндоморфизмов этого объекта), а абелева категория с множеством конечно порожденных/конечно представимых проективных образующих эквивалентна категории (правых) модулей над "большим кольцом" морфизмов между этими проективными образующими.

Пусть теперь K -- произвольная абелева категория с проективным образующим объектом P. Тогда, в силу тех же соображений, категория K однозначно определяется заданием множеств или групп морфизмов из объекта P в прямые суммы P^(S) копий объекта P по произвольным множествам индексов S.

(Продолжение следует.)