Аддитивные копучки и плоские контрамодули

Подумав еще немного, представляется, что без мультипликативных систем, пожалуй, что и можно обойтись.

Пусть A -- локально λ-представимая абелева категория. Зафиксируем кардинал λ, и обозначим через Fun(A) категорию всех ковариантных аддитивных функторов из категории A в категорию абелевых групп, сохраняющих λ-направленные прямые пределы (на самом деле, условие это нам здесь нужно только для того, чтобы Fun(A) не оказалась "слишком большой" категорией, в которой морфизмы между двумя фиксированными объектами образуют класс). Обозначим через CoF(A) ⊂ Fun(A) полную подкатегорию в Fun(A), состоящую из функторов, сохраняющих все прямые пределы, и через ExCoF(A) ⊂ CoF(A) полную подкатегорию в CoF(A), состоящую из точных функторов (т.е., функторов, сохраняющих не только все прямые пределы, но и конечные обратные).

Категория Fun(A) является абелевой категорией, в которой короткая последовательность функторов 0 → F → G → H → 0 точна тогда и только тогда, когда для любого объекта N ∈ A короткая последовательность абелевых групп 0 → F(N) → G(N) → H(N) → 0 точна.

В контексте "аддитивной теории копучков", категория Fun(A) мыслится, как категория копредпучков, ее полная подкатегория CoF(A) -- как категория копучков, а ее полная подкатегория ExCoF(A) -- как категория ковялых копучков.

Лемма 1. Пусть 0 → F → G → H → 0 -- короткая точная последовательность в категории Fun(A). Тогда
(1) если функтор H принадлежит ExCoF(A), а функтор G принадлежит CoF(A), то функтор F принадлежит CoF(A);
(2) если функторы H и G принадлежат ExCoF(A), то и функтор F тоже принадлежит ExCoF(A).
(3) если функторы H и F принадлежат CoF(A), то и функтор F принадлежит CoF(A); если функторы H и F принадлежат ExCoF(A), то и функтор G принадлежит ExCoF(A).

Доказательство: ядро (как и коядро) любого морфизма функторов, сохраняющих направленные прямые пределы, тоже сохраняет направленные прямые пределы, так что достаточно проверить условия сохранения ядер и коядер. Теперь остается заметить, что ядро сюръективного морфизма из короткой точной справа последовательности абелевых групп в короткую точную последовательность является короткой точной справа последовательностью, и ядро сюръективного морфизма точных последовательностей является точной последовательностью. Этим доказаны пункты (1-2); доказательство пункта (3) аналогично.

Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо со счетной базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Нас будут интересовать ковариантные аддитивные функторы на абелевой категории Гротендика дискретных правых R-модулей discr-R. В частности, с каждым левым R-контрамодулем
P связан функтор контратензорного произведения N → N ⊙_R P, который мы будем обозначать через CT(P) ∈ Fun(discr-R).

Наоборот, для любого функтора F ∈ Fun(discr-R) на проективном пределе pl(F) = projlim_I F(R/I), где I пробегает все открытые правые идеалы I ⊂ R и проективный предел берется по отображениям F(R/I) → F(R/J), полученным применением функтора F к отображениям проекции R/I → R/J для всех пар вложенных идеалов I ⊂ J, имеется естественная структура левого R-контрамодуля. Для любой последовательности элементов r_i ∈ R, сходящейся к нулю в топологии R, и любой последовательности элементов p_i ∈ projlim_I F(R/I), бесконечная сумма ∑_i r_ip_i определяется как элемент проективного предела, компонента которого, принадлежащая группе F(R/I), равна сумме по всем r_i, не принадлежащим I, образов компонент элементов p_i в группах F(R/J_i) при отображениях F(r_i): F(R/J_i) → F(R/I), где J_i ⊂ R обозначает открытый правый идеал, равный полному прообразу правого идеала I ⊂ R при отображении левого умножения r_i: R → R.

Функтор "функтора контратензорного произведения" CT: R-contra → Fun(discr-R) сопряжен слева к функтору проективного предела pl: Fun(R-discr) → R-contra.

Лемма 2. (1) Для любого R-контрамодуля P, функтор CT(P) принадлежит CoF(discr-R);
(2) Для любого функтора F ∈ CoF(discr-R), отображение сопряжения CT(pl(F)) → F является изоморфизмом в категории функторов Fun(discr-R).

R-контрамодуль P называется отделимым, если пересечение его подконтрамодулей I×P по всем открытым правым идеалам I ⊂ R равно нулю. Ясно, что любой подконтрамодуль отделимого контрамодуля отделим.

Лемма 3. (1) Для любого функтора F ∈ Fun(discr-R), левый R-контрамодуль projlim(L) отделим.
(2) Для любого левого R-контрамодуля P, морфизм сопряжения P → pl(CT(P)) сюръективен.
(3) Левый R-контрамодуль P отделим тогда и только тогда, когда морфизм сопряжения P → pl(CT(P)) является изоморфизмом.

Следствие. Функторы pl и CT являются взаимно-обратными эквивалентностями между полной подкатегорией CoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R) и полной подкатегорией отделимых R-контрамодулей в R-contra.

Контрпример: сравнив коядро ядра и ядро коядра извесного гомоморфизма с диагональной матрицей (1, p, p², ...) из свободного Z_p-контрамодуля со счетным множеством образующих в себя, можно убедиться, что категория отделимых Z_p-контрамодулей -- а значит, и эквивалентная ей категория сохраняющих прямые пределы ковариантных аддитивных функторов в категорию абелевых групп на категории p-примарных абелевых групп Z_p-discr -- не абелева.