Аддитивные копучки и плоские контрамодули - 2

Напомним, что левый R-контрамодуль P называется (контра)плоским, если функтор контратензорного произведения N → N ⊙_R P точен на категории дискретных правых R-модулей. Другими словами, левый R-контрамодуль P плоский, если функтор CT(P) ∈ Fun(discr-R) принадлежит полной подкатегории ExCoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R).

Основная лемма. Пусть 0 → S → Q → P → 0 -- короткая точная последовательность левых R-контрамодулей. Допустим, что R-контрамодуль Q отделимый, а R-контрамодуль P отделимый и плоский. Тогда для любого дискретного правого R-модуля N короткая последовательность абелевых групп 0 → N ⊙_R S → N ⊙_R Q → N ⊙_R P → 0 точна.

Доказательство: положим H = CT(P), G = CT(Q) и F = CT(S); тогда (например, хотя бы уже потому, что функтор N ⊙_R −: R-contra → Ab сопряжен слева к функтору Hom_Z(N,−): Ab → R-contra, и следовательно, сохраняет прямые пределы) имеется точная последовательность F → G → H → 0 в категории Fun(discr-R). Обозначим через F' ядро морфизма G → H в категории Fun(discr-R); тогда имеется естественный морфизм функторов F → F'.

Функтор H принадлежит подкатегории ExCoF(discr-R) ⊂ Fun(discr-R), а функтор G -- подкатегории CoF(discr-R) (см. лемму 2(1) из предыдущего постинга); так что, согласно лемме 1(1) из предыдущего постинга, функтор F' принадлежит CoF(discr-R). В частности, морфизмы F'(R/I) → F'(R/J) сюръективны для всех пар вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R. Переходя к проективному пределу, получаем короткую точную последовательность R-контрамодулей 0 → pl(F') → pl(G) → pl(H) → 0.

Теперь R-контрамодуль S, будучи подконтрамодулем отделимого R-контрамодуля, тоже отделим, так что морфизмы сопряжения S → pl(F), Q → pl(G) и P → pl(H) являются изоморфизмами R-контрамодулей (см. лемму 3(3) из предыдущего постинга). Мы показали, что морфизм pl(F) → pl(F') является изоморфизмом R-контрамодулей. Поскольку оба функтора F и F' принадлежат CoF(discr-R), согласно лемме 2(2) (или следствию) из предыдущего постинга, отсюда следует, что морфизм функторов F → F' изоморфизм. Основная лемма доказана.

Следствие 1 (из основной леммы). Ядро сюръективного морфизма плоских отделимых левых R-контрамодулей является плоским отделимым левым R-контрамодулем.

Доказательство: см. лемму 1(2) из предыдущего постинга.

Следствие 2 (из основной леммы, применяемой в условиях следствия 1). Пусть 0 → S → Q → P → 0 -- короткая точная последовательность левых R-контрамодулей. Тогда если R-контрамодуль S отделимый, а R-контрамодуль P отделимый и плоский, то и R-контрамодуль Q отделим.

Доказательство: см. доказательство леммы D.1.5 в последней версии контрагерентного препринта.

Альтернативным образом, чтобы доказать следствие 2, достаточно избавиться от предположения отделимости контрамодуля Q в основной лемме. Это можно сделать, определив и вычислив производный функтор функтора контратензорного произведения с помощью свободных резольвент контрамодульного аргумента, и показав, с помощью (следствия 1 и) основной леммы (применяемой в условиях следствия 1), что этот функтор зануляется на плоских отделимых R-контрамодулях.

Следствие 3 (из следствия 2). Расширение двух плоских отделимых левых R-контрамодулей является плоским отделимым левым R-контрамодулем.

Доказательство: см. лемму 1(3) из предыдущего постинга.