Поиск публикаций  |  Научные конференции и семинары  |  Новости науки  |  Научная сеть
Новости науки - Комментарии ученых и экспертов, мнения, научные блоги
Реклама на проекте

R-мультипликативные системы

Суббота, 31 Октябрь, 22:10, posic.livejournal.com


Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо с единицей, имеющее счетную базу окрестностей нуля, состоящую из правых идеалов. (Левой) R-мультипликативной системой M называется правило, сопоставляющее каждому открытому правому идеалу I ⊂ R абелеву группу MI и каждому элементу r ∈ R и паре открытых правых идеалов I, J ⊂ R, таких что rI ⊂ J, отображение mM(r,I,J): MI → MJ, таким образом, что выполнены следующие аксиомы:

- если rI ⊂ J и sI ⊂ J (для двух открытых правых идеалов I, J ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то сумма отображений mM(r,I,J) + mM(s,I,J) равна mM(r+s,I,J)
- отображения mM(1,I,I) -- тождественные;
- если rI ⊂ J и sJ ⊂ K (для трех открытых правых идеалов I, J, K ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то композиция mM(s,J,K)mM(r,I,J) равна mM(sr,I,K)
- группа MR, соответствующая единичному идеалу I = R ⊂ R, равна нулю.

Упражнение: показать, что в предположении первых трех условий четвертое эквивалентно тому, что отображение mM(r,I,J) зануляется для всех r, принадлежащих J (таким образом, аддитивное семейство операторов вида mM(r,I,J), действующих из MI в MJ, индексировано дискретной абелевой группой R/J).

Категория R-msys всех R-мультипликативных систем изоморфна категории аддитивных функторов из некоторой предаддитивной категории в категорию абелевых групп. Таким образом, это абелева категория Гротендика со счетным множеством проективных образующих (соответствующих открытым идеалам I ⊂ R). Напомним, что категория левых R-контрамодулей R-contra является, в противоположность этому, локально представимой абелевой категорией с одной ℵ1-представимой проективной образующей (и неточными, вообще говоря, функторами бесконечных прямых сумм, не говоря уже о направленных прямых пределах).

С R-мультипликативной системой M можно связать проективную систему (диаграмму) абелевых групп MI, индексированных частично упорядоченным множеством открытых правых идеалов в R с отношением включения; отображениями в проективной системе являются операторы mM(1,I,J). На проективном пределе projlimI MI R-мультипликативной системы M имеется естественная структура левого контрамодуля над топологическим кольцом R. Наоборот, для любого левого R-контрамодуля P абелевы группы MI = P/I×P образуют R-мультипликативную систему.

Функтор полной редукции red: R-contra → R-msys сопряжен слева к функтору проективного предела projlim: R-msys → R-contra. Функтор projlim не точен на всей абелевой категории R-мультикативных систем, но он точен на ее точной подкатегории, состоящей из всех R-мультипликативных систем M, в которых отображения mM(1,I,J) сюръективны. Функтор red также не точен на всей абелевой категории R-контрамодулей. Наша цель -- показать, что функтор red является точным и вполне строгим на точной подкатегории (контра)плоских R-контрамодулей в R-contra с квазиобратным функтором projlim. Другими словами, red и projlim -- взаимно-обратные точные эквивалентности между точной категорией плоских R-контрамодулей и подходящей точной подкатегорией в R-msys.

Читать полную новость с источника 

Комментарии (0)