R-мультипликативные системы

Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо с единицей, имеющее счетную базу окрестностей нуля, состоящую из правых идеалов. (Левой) R-мультипликативной системой M называется правило, сопоставляющее каждому открытому правому идеалу I ⊂ R абелеву группу M_I и каждому элементу r ∈ R и паре открытых правых идеалов I, J ⊂ R, таких что rI ⊂ J, отображение m_M(r,I,J): M_I → M_J, таким образом, что выполнены следующие аксиомы:

- если rI ⊂ J и sI ⊂ J (для двух открытых правых идеалов I, J ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то сумма отображений m_M(r,I,J) + m_M(s,I,J) равна m_M(r+s,I,J)
- отображения m_M(1,I,I) -- тождественные;
- если rI ⊂ J и sJ ⊂ K (для трех открытых правых идеалов I, J, K ⊂ R и двух элементов r, s ∈ R), то композиция m_M(s,J,K)m_M(r,I,J) равна m_M(sr,I,K)
- группа M_R, соответствующая единичному идеалу I = R ⊂ R, равна нулю.

Упражнение: показать, что в предположении первых трех условий четвертое эквивалентно тому, что отображение m_M(r,I,J) зануляется для всех r, принадлежащих J (таким образом, аддитивное семейство операторов вида m_M(r,I,J), действующих из M_I в M_J, индексировано дискретной абелевой группой R/J).

Категория R-msys всех R-мультипликативных систем изоморфна категории аддитивных функторов из некоторой предаддитивной категории в категорию абелевых групп. Таким образом, это абелева категория Гротендика со счетным множеством проективных образующих (соответствующих открытым идеалам I ⊂ R). Напомним, что категория левых R-контрамодулей R-contra является, в противоположность этому, локально представимой абелевой категорией с одной ℵ₁-представимой проективной образующей (и неточными, вообще говоря, функторами бесконечных прямых сумм, не говоря уже о направленных прямых пределах).

С R-мультипликативной системой M можно связать проективную систему (диаграмму) абелевых групп M_I, индексированных частично упорядоченным множеством открытых правых идеалов в R с отношением включения; отображениями в проективной системе являются операторы m_M(1,I,J). На проективном пределе projlim_I M_I R-мультипликативной системы M имеется естественная структура левого контрамодуля над топологическим кольцом R. Наоборот, для любого левого R-контрамодуля P абелевы группы M_I = P/I×P образуют R-мультипликативную систему.

Функтор полной редукции red: R-contra → R-msys сопряжен слева к функтору проективного предела projlim: R-msys → R-contra. Функтор projlim не точен на всей абелевой категории R-мультикативных систем, но он точен на ее точной подкатегории, состоящей из всех R-мультипликативных систем M, в которых отображения m_M(1,I,J) сюръективны. Функтор red также не точен на всей абелевой категории R-контрамодулей. Наша цель -- показать, что функтор red является точным и вполне строгим на точной подкатегории (контра)плоских R-контрамодулей в R-contra с квазиобратным функтором projlim. Другими словами, red и projlim -- взаимно-обратные точные эквивалентности между точной категорией плоских R-контрамодулей и подходящей точной подкатегорией в R-msys.