R-мультипликативные системы - 2

R-мультипликативная система M называется строгой, если для любой пары вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R отображение m_M(1,I,J): M_I → M_J индуцирует изоморфизм между группой M_J и факторгруппой группы M_I по сумме образов всех отображений m_M(r,K,I), где r ∈ J и K ⊂ R -- правый идеал в R, такой что rK ⊂ I.

Лемма 1. (1) Для любого R-контрамодуля P, R-мультипликативная система red(P) (с компонентами red(P)_I = P/I×P) является строгой.
(2) Для любой строгой R-мультипликативной системы M, отображение сопряжения red(projlim(M)) → M является изоморфизмом R-мультипликативных систем.

R-контрамодуль P называется отделимым, если пересечение его подконтрамодулей I×P по всем открытым правым идеалам I ⊂ R равно нулю.

Лемма 2. (1) Для любой R-мультипликативной системы M, R-контрамодуль projlim(M) отделим.
(2) Для любого левого R-контрамодуля P, морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) сюръективен.
(3) Левый R-контрамодуль P отделим тогда и только тогда, когда морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) является изоморфизмом.

Следствие 1. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными эквивалентностями между полными подкатегориями строгих R-мультипликативных систем и отделимых R-контрамодулей в R-msys и R-conta.

Как показывают известные контрпримеры, категория, описываемая следствием 1, не очень хорошо себя ведет с гомологической точки зрения (в частности, полная подкатегория отделимых R-контрамодулей не замкнута не только относительно коядер, но даже и относительно расширений в абелевой категории R-contra). Нашей целью является описание некоторой полной подкатегории в этой категории, обладающей хорошими гомологическими свойствами.

Пусть N -- дискретный правый R-модуль; для любого открытого правого идеала I ⊂ R обозначим через N_(I) подгруппу элементов, аннулируемых I в N. Для любых двух правых идеалов I, J ⊂ R и элемента r ∈ R, такого что rI ⊂ J, отображение умножения на r, действующее из N в N, ограничивается до отображения r: N_(J) → N_(I).

Тензорным произведением дискретного правого R-модуля N и левой R-мультипликативной системы M называется факторгруппа прямой суммы абелевых групп N_(I) ⊗_Z M_J по сумме образов всех разностей пар отображений из групп N_(J) ⊗_Z M_I, индуцированных правыми и левыми действиями элементами r ∈ R, для которых rI ⊂ J. Контратензорное произведение N ⊙_R P дискретного правого R-модуля N и левого R-контрамодуля P естественно изоморфно тензорному произведению N ⊗_R red(P).

Левый R-контрамодуль P называется (контра)плоским, если функтор N → N ⊙_R P точен на категории дискретных правых R-модулей N. Строгая левая R-мультипликативная система M называется плоской, если функтор N → N ⊗_R M точен на категории дискретных правых R-модулей N. Из сказанного выше (включая лемму 1(1)) следует, что левый R-контрамодуль P плоский тогда и только тогда, когда левая R-мультипликативная система M плоская.

Нашей целью является доказательство следующего результата.

Теорема. 1. Всякий плоский R-контрамодуль отделим.
2. Полная подкатегория плоских R-контрамодулей замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-contra.
3. Функтор red переводит короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей в короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем.
4. Полная подкатегория плоских R-мультипликативных систем замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-msys.
5. Функтор projlim переводит короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем в короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей.

В частности из пунктов 1, 3, 5 теоремы вытекает следующее

Следствие 2. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными точными эквивалентностями между полными точными подкатегориями плоских R-мультипликативных систем и плоских R-контрамодулей в R-msys и R-contra.