Исчисление дополнительных классов объектов и морфизмов

Бэкграундный материал к постингу http://posic.livejournal.com/1226755.html

Пусть E -- точная категория (в смысле Квиллена; как обычно, мы будем для простоты предполагать E слабо идемпотентно замкнутой; на самом деле, нас будет интересовать случай, когда E абелева). Пусть F и C -- два класса объектов в E; обозначим через F-mono класс всех допустимых мономорфизмов с коядрами, принадлежащими классу F в категории E и через C-epi класс всех допустимых эпиморфизмов с ядрами, принадлежащими C в категории E.

Лемма. 1. Пусть A → B -- допустимый мономорфизм с коядром F и X → Y -- допустимый эпиморфизм с коядром C в категории E. Тогда если Ext_E¹(F,C) = 0, то морфизм A → B обладает левым свойством подъема (в смысле науки про модельные категории и weak factorization systems) по отношению к морфизму X → Y.

Наивно сформулированное обратное утверждение к пункту 1 неверно: например, расщепимый мономорфизм всегда обладает левым свойством подъема по отношению к расщепимому эпиморфизму (какие бы у них ни были коядро и ядро). Тем не менее, справедлива следующая более внимательно сформулированная форма обратного утверждения к пункту 1.

2. Если морфизм A → B с коядром F обладает левым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из класса C-epi, то Ext_E¹(F,C) = 0 для всех C ∈ C. Если морфизм X → Y с ядром C обладает правым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из класса F-mono, то Ext_E¹(F,C) = 0 для всех F ∈ F.

Пункты 1.-2. оставляют открытым вопрос о том, могут ли морфизмы, не являющиеся допустимыми мономорфизмами, обладать левым свойством подъема по отношению к C-epi или могут ли морфизмы, не являющиеся допустимыми эпиморфизмами, обладать правым свойством подъема по отношению к F-mono. Вообще говоря, ответ на этот вопрос, конечно: могут; например, если C = 0, то C-epi -- это класс всех изоморфизмов, и по отношению к нему все морфизмы обладают свойством подъема. Следующий пункт дает более содержательный ответ.

3. Если из объекта A в категории E существует допустимый мономорфизм в некоторый объект из класса C, то всякий морфизм A → B в категории E, обладающий левым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из класса C-epi, является допустимым мономорфизмом. Если на объект Y в категории E существует допустимый эпиморфизм из некоторого объекта из класса F, то всякий морфизм X → Y в категории E, обладающий правым свойством подъема по отношению ко всем морфизмам из класса F-mono, является допустимым эпиморфизмом.