Век живи, век учись (algebraic weak factorization systems)

Алгебраически делимая (абелева) группа -- это группа, в которой для каждого элемента g и для каждого натурального числа n выбран один из результатов деления g на n, т.е. указан фиксированный элемент h_n(g), такой что nh_n(g) = g. Никаких других уравнений на отображения g → h_n(g) не накладывается, никаких условий согласования.

Алгебраически делимые абелевы группы образуют категорию, морфизмами в которой являются все гомоморфизмы групп, коммутирующие с отображениями h_n. Это некоторая категория множеств с операциями, на которые наложены уравнения ("алгебр с сигнатурой и тождествами") -- отсюда термин "алгебраически". Категория эта неаддитивна (поскольку отображения h_n не обязаны быть аддитивными), но это категория алгебр над некоторой (неаддитивной) монадой на категории абелевых групп.

Аналогично, алгебраически инъективный левый модуль над кольцом R -- это такой модуль M, что для любого левого идеала I ⊂ R и гомоморфизма левых R-модулей I → M выбрано фиксированное продолжение этого гомоморфизма на R. Функториальное вложение произвольного R-модуля в инъективный можно построить, свободно породив этим модулем алгебраически инъективный R-модуль (функтор этот есть функтор свободной алгебры над некоторой неаддивной монадой на категории R-модулей, не коммутирующей даже с направленными прямыми пределами, если кольцо не нетерово; вообще, как мы знаем, построить функториальную инъективную резольвенту модуля можно и самыми элементарными средствами, но аддитивным такой функтор не будет, если кольцо не является алгеброй над полем).

Аналогично можно говорить об "алгебраических слабых системах факторизации", algebraic weak factorization systems (слабая система факторизации = "половина модельной структуры", в которой есть, допустим, только расслоения и ацикличные корасслоения). Задание множества образующих левого класса морфизмов порождает, в рамках "алгебраической" версии рассуждения о малом объекте (small object argument), соответствующую категорию "алгебраического правого класса морфизмов", у которых для каждого коммутативного квадрата с образующей левого класса зафиксировано поднятие. Эта категория монадична над категорией морфизмов в исходной объемлющей категории.