Контрпример неконтраприспособленной абелевой группы

Пусть p -- простое число. Абелева группа C называется p-контраприспособленной, если Ext_Z¹(Z[p⁻¹], C) = 0. Нетрудно видеть, что для любой p-контраприспособленной абелевой группы C естественное отображение в проективный предел C → lim_n C/pⁿC сюръективно.

Верно ли обратное, или (что казалось бы более вероятным) можно привести пример не-p-контраприспособленной абелевой группы A с сюръективным отображением A → lim_n A/pⁿA ? Нетрудно убедиться, что такая группа A обязана содержать нетривиальные элементы p-кручения.

Update: Ага, да: есть вроде бы у меня довольно замысловатый контрпример, конструкция которого использует ультрафильтры и черта в ступе. Сейчас соберусь, может быть, с мыслями и запишу его здесь. Uupdate: ну, или если не ультрафильтры, то аксиому выбора (инъективность делимых абелевых групп) уж во всяком случае.

Uuupdate: в общем, короче, идея такая. В категории абелевых групп есть две подкатегории: подкатегория p-полных в наивном смысле (или, точнее сказать, p-полных и p-отделимых) абелевых групп (для которых C → lim_n C/pⁿC -- изоморфизм) и подкатегория p-контрамодулей; вторая содержит первую. Функторы вложения обеих подкатегорий имеют левые сопряженные (как бы проекторы на соответствующие подкатегории).

Для подкатегории p-полных абелевых групп такой функтор как раз переводит C в lim_n C/pⁿC, а для подкатегории p-контрамодулей этот функтор вычисляется как Ext_Z¹(Z[p⁻¹]/Z, C). Теперь p-контраприспособленные абелевы группы -- это в точности те, для которых естественное отображение в их p-контрамодульную аппроксимацию C → Ext_Z¹(Z[p⁻¹]/Z, C) сюръективно.

Пусть C -- какой-нибудь p-контрамодуль, не являющийся p-полной абелевой группой в наивном смысле; реально это значит, что C не p-отделим, т.е. пересечение подгрупп pⁿC в C не равно нулю. Обозначим это пересечение через D; тогда limⁿ C/pⁿC = C/D. Искомый контрпример не-p-контраприспособленной абелевой группы A будет собственной подгруппой в C, которая должна удовлетворять двум условиям: она сюръективно проецируется на C/D, и факторгруппа C/A является Z[p⁻¹]-модулем.

Почему этого достаточно? В самом деле, Z/pⁿZ ⊗_Z C = (ввиду второго условия) = Z/pⁿZ ⊗_Z A, так что lim_n A/pⁿA = lim_n C/pⁿC = C/D, и (ввиду первого условия) отображение A → lim_n A/pⁿA сюръективно. С другой стороны, если бы группа A была p-контраприспособленной, то она была бы p-контрамодулем, поскольку p-делимых подгрупп в ней нет (поскольку их нет в C); тогда p-контрамодулем была бы и факторгруппа C/A, что невозможно для ненулевой p-делимой группы.

Чтобы построить такую подгруппу A ⊂ C, рассмотрим конкретный пример не p-отделимого p-контрамодуля C, а именно, классический пример, где C является факторгруппой группы всех сходящихся к нулю последовательностей целых p-адических чисел c₀, c₁, c₂, … по подгруппе всех последовательностей вида e₀, pe₁, p²e₂, …, где последовательность целых p-адических чисел e_i также стремится к нулю. Подгруппа D = ∩_n pⁿC состоит из классов всех последовательностей вида d₀, pd₁, p²d₂, …, где последовательность целых p-адических чисел d_i сходиться к нулю уже не обязана, а может быть произвольной.

Группа D, таким образом, изоморфна факторгруппе группы всех последовательностей целых p-адических чисел по подгруппе последовательностей, сходящихся к нулю. Нетрудно видеть, что в такую группу можно вложить в качестве подгруппы прямую сумму счетного числа копий группы целых p-адических чисел (разбить множество индексов i в объединение счетного числа счетных множеств, рассмотреть прямую сумму счетного числа копий диагональных вложений Z_p в прямое произведение счетного числа копий Z_p каждая, заметить, что такая последовательность не может сходиться к нулю, если она не нулевая).

Прямую сумму счетного числа копий группы целых p-адических чисел можно сюръективно отобразить на группу всех рациональных p-адических чисел. Полученное сюръективное отображение из подгруппы в D на Q_p продолжается на всю группу D и далее на C, поскольку Q_p делима. Возьмем в качестве подгруппы A ⊂ C ядро полученного сюръективного гомоморфизма групп C → Q_p. Поскольку отображение D → C/A = Q_p сюръективно, сюръективно и отображение A → C/D.