Полубесконечная дерамовская геометрия

Простейший пример полубесконечного алгебраического многообразия: расслоение k((z)) → k((z))/k[[z]]. Другими словами, в инд-спектр топологического кольца lim_n k[a_−n,…,a₀,a₁…] отображается инд-спектр пронетерова топологического кольца lim_n k[a_−n,…,a₋₁].

Соответствующий морфизм комплексов де Рама: в проективный предел DG-алгебр с мультипликативными образующими a_−n, da_−n, …, a₀, da₀, a₁, da₁, … отображается проективный предел DG-алгебр, натянутых на a_−n, da_−n, … a₋₁, da₋₁.

Связанная с этим полупроизводная категория дискретных DG-модулей над топологической DG-алгеброй де Рама: смесь производной категории в направлении переменных a_i и da_i с i ≥ 0 и копроизводной категории в направлении переменных a_j и da_j с j < 0. Формально, факторкатегория категории дискретных DG-модулей над большой топологической DG-алгеброй де Рама по полной подкатегории дискретных DG-модулей, коацикличных над замкнутой подалгеброй переменных с отрицательными номерами.

Полубесконечный комплекс де Рама: единичный объект тензорной структуры на этой полупроизводной категории. Соединение кольца функций от a_i, дуализирующего комплекса вдоль по a_j, внешней алгебры от da_i, и внешней коалгебры от da_j*.

Пример немножко тривиальный, поскольку 1. расслоение тривиально, т.е. вся картина разваливается в произведение ситаций на базе и в слое, и 2. комплекс де Рама слоя квазиизоморфен k (в характеристике нуль), поэтому обычная производная категория DG-модулей над ним есть просто производная категория векторных пространств. Менее тривиальные примеры можно получить, заменив плоские пространства на что-нибудь геометрически более интересное (подмногообразие в k((z)), задаваемое каким-нибудь уравнением или набором уравнений, например можно взять для начала что-то вроде бесконечномерной квадрики Res f(z)² = 0 и т.п.; грассманианы, и т.д.)