Ко- и контраэквивалентности (топологических) CDG-колец - 3

Следуя терминологии из первого постинга этой серии, будем называть непрерывный морфизм топологических CDG-колец f: A → B левой коэквивалентностью, если индуцированный функтор ограничения скаляров между копроизводными категориями дискретных CDG-модулей D^co(B-mod_discr) → D^co(A-mod_discr) является эквивалентностью триангулированных категорий.

Пусть f: A → B -- непрерывный морфизм топологических CDG-алгебр над полем k, снабженных убывающими фильтрациями A = F⁰A ⊃ F¹A ⊃ F²A ⊃ … и B = F⁰B ⊃ F¹B ⊃ F²B ⊃ …, согласованными с умножениями и дифференциалами на A и B и удовлетворяющими следующим условиям. Во-первых, идеалы FⁿA и FⁿB должны быть открыты в A и B, и отображения из A и B в проективные пределы факторколец по этим идеалам должны быть топологическими изоморфизмами. Во-вторых, градуированные кольца A/FⁿA и B/FⁿB должны быть нетеровыми слева.

В-третьих, морфизм CDG-алгебр A/F¹A → B/F¹B должен быть левой коэквивалентностью. В-четвертых, для каждого n ≥ 1 конус морфизма CDG-бикомодулей FⁿA/Fⁿ⁺¹A → FⁿB/Fⁿ⁺¹B должен быть абсолютно ацикличным коацикличным CDG-бикомодулем над F⁰B/F¹B.

Теорема: в перечисленных предположениях, морфизм топологических CDG-алгебр f: A → B является левой коэквивалентностью.

Доказательство: для любого дискретного левого CDG-модуля M над CDG-алгеброй A обозначим через F_nM CDG-подмодуль элементов, аннулируемых FⁿA в M. Возрастающая фильтрация CDG-подмодулями F_nM -- исчерпывающая на M, и присоединенные факторы F_nM/F_n−1M являются CDG-модулями над A/F¹A. Ввиду предположения о том, что морфизм CDG-алгебр A/F¹A → B/F¹B является коэквивалентностью, мы можем заключить, что всякий дискретный левый CDG-модуль над A изоморфен в копроизводной категории D^co(A-mod_discr) CDG-модулю, полученному из левых CDG-модулей над B/F¹B с помощью конусов и бесконечных прямых сумм.

Далее, ввиду условия нетеровости слева градуированных колец A/FⁿA и B/FⁿB, конечно-порожденные левые CDG-модули над A/FⁿA и B/FⁿB (а значит, и над A/F¹A и B/F¹B) являются компактными образующими копроизводных категорий D^co(A-mod_discr) и D^co(B-mod_discr), соответственно. Таким образом, остается показать, что функтор ограничения скаляров D^co(B-mod_discr) → D^co(A-mod_discr) индуцирует изоморфизмы пространств Hom между любыми двумя левыми CDG-модулями над B/F¹B.

Для любых двух градуированных k-векторных пространств V и U, первое из которых полно по отношению к убывающей фильтрации F, а второе снабжено исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, обозначим через Hom_k^F(V,U) градуированное k-векторное пространство однородных линейных отображений V → U, аннулирующих FⁿV для достаточно больших n и имеющих образ, содержащийся в F^mU для достаточно больших m. Градуированное k-векторное пространство Hom_k^F(V,U) снабжено естественной исчерпывающей возрастающей фильтрацией F.

Для любого градуированного k-векторного пространства U, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, градуированное векторное пространство Hom_k^F(B,U) имеет естественную структуру дискретного градуированного левого B-модуля, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с убывающей фильтрацией F на кольце B. Из условия нетеровости слева градуированного кольца B следует, что B-модуль Hom_k^F(B,U) является инъективным объектом категории дискретных градуированных левых B-модулей. Для любого дискретного градуированного левого B-модуля N, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с убывающей фильтрацией F на кольце B, имеется естественный инъективный морфизм фильтрованных градуированных левых B-модулей N → Hom_k^F(B,N).

Для любого дискретного левого CDG-модуля N над CDG-алгеброй B, снабженного исчерпывающей возрастающей фильтрацией F, согласованной с дифференциалом и действием кольца B с его убывающей фильтрацией F, прямая сумма дискретных градуированных левых B-модулей

Hom_k^F(B,N) ⊕ Hom_k^F(B,Hom_k^F(B,N)) ⊕ Hom_k^F(B,Hom_k^F(B,Hom_k^F(B,N))) ⊕ …

наделяется тремя дифференциалами, один из которых определяется в терминах умножения на B и действия B на N, другой -- в терминах дифференциалов на B и N, и третий -- в терминах элемента кривизны в CDG-алгебре B. Снабженный суммой этих трех дифференциалов, этот дискретный градуированный левый B-модуль превращается в дискретный левый CDG-модуль Cob~(B,N) над B. Из условия нетеровости слева градуированного кольца B следует, что подлежащий градуированный левый B-модуль этого CDG-модуля является инъективным объектом категории дискретных градуированных левых B-модулей. Имеется естественный замкнутый морфизм дискретных левых CDG-модулей N → Cob~(B,N) над B, конус которого является коацикличным дискретным левым CDG-модулем над B.

(Продолжение следует.)