Производные расширения скаляров в CDG-модулях

Пусть f: A → B -- морфизм CDG-колец. Тогда DG-функтор ограничения скаляров R_f: B-mod → A-mod индуцирует триангулированные функторы между ко- и контрапроизводными категориями CDG-модулей I^coR_f: D^co(B-mod) → D^co(A-mod) и I^ctrR_f: D^ctr(B-mod) → D^ctr(A-mod).

Когда существуют функторы, сопряженные слева или справа к I^coR_f и I^ctrR_f ? На уровне DG-категорий или гомотопических категорий CDG-модулей, существуют оба функтора. Функтор расширения скаляров E_f, сопряженный слева к функтору R_f, сопоставляет CDG-модулю M над CDG-кольцом A CDG-модуль B ⊗_A M над CDG-кольцом B. Функтор корасширения скаляров E^f, сопряженный справа к функтору R_f, сопоставляет CDG-модулю M над CDG-кольцом A CDG-модуль Hom_A(B,M) над CDG-кольцом B. Вопрос состоит, таким образом, в том, при каких условиях функторы расширения и/или корасширения скаляров имеют производные функторы, действующие между ко- или контрапроизводными категориями CDG-модулей над A и B.

Чтобы построить контрапроизводный функтор расширения скаляров L^ctrE_f: D^ctr(A-mod) → D^ctr(B-mod), достаточно отождествить контрапроизводную категорию D^ctr(A-mod) с гомотопической категорией градуированно-проективных CDG-модулей H⁰(A-mod_proj) и ограничить функтор E_f с H⁰(A-mod) на H⁰(A-mod_proj). Таким образом, левый контрапроизводный функтор расширения скаляров L^ctrE_f существует всегда, когда контрапроизводная категория CDG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории градуированно-проективных CDG-модулей (если пользоваться моим определением контрапроизводной категории) или вообще всегда (если пользоваться определением Х.Б.)

Чтобы построить контрапроизводный функтор корасширения скаляров R^ctrE^f: D^ctr(A-mod) → D^ctr(B-mod), предположим, что градуированное кольцо B является проективным градуированным левым A-модулем. Тогда, как очевидно, функтор непроизводного корасширения скаляров E^f переводит контраацикличные CDG-модули над A (как в смысле моего определения, так и в смысле определения Х.Б.) в контраацикличные CDG-модули над B, так что имеется индуцированный триангулированный функтор, который, наверное, правильнее было бы обозначить через I^ctrE^f: D^ctr(A-mod) → D^ctr(B-mod).

Аналогично, чтобы построить копроизводный функтор корасширения скаляров R^coE^f: D^co(A-mod) → D^co(B-mod), достаточно отождествить копроизводную категорию D^co(A-mod) с гомотопической категорией градуированно-инъективных CDG-модулей H⁰(A-mod_inj) и ограничить функтор E^f с H⁰(A-mod) на H⁰(A-mod_inj). Таким образом, правый копроизводный функтор корасширения скаляров R^coE^f существует всегда, когда копроизводная категория CDG-модулей над A эквивалентна гомотопической категории градуированно-инъективных CDG-модулей (если пользоваться моим определением копроизводной категории) или вообще всегда (если пользоваться определением Х.Б.)

Чтобы построить копроизводный функтор расширения скаляров L^coE_f: D^co(A-mod) → D^co(B-mod), предположим, что градуированное кольцо B является плоскиым градуированным правым A-модулем. Тогда функтор непроизводного расширения скаляров E_f переводит коацикличные CDG-модули над A (как в смысле моего определения, так и в смысле определения Х.Б.) в коацикличные CDG-модули над B, так что имеется индуцированный триангулированный функтор, который, наверное, правильнее было бы обозначить через I^coE_f: D^co(A-mod) → D^co(B-mod).