Производное полутензорное произведение как тензорная структура на полу(ко)производной категории

В процессе подготовки слайдов к выступлению на конференции в Праге родилась идея/формулировка: двусторонний производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на полубесконечном многообразии должен быть тензорной структурой на полупроизводной категории квазикогерентных пучков кручения.

Стал размышлять про простейший пример "не совсем даже еще полубесконечного" многообразия -- аффинная схема, плоская над спектром когерентного кольца с дуализирующим комплексом -- рассмотренный в апрельском препринте "Coherent rings, fp-injective modules ..." Обнаружилось, что трудности связаны скорее со словами про "двусторонний производный функтор" -- т.е., он, конечно, двусторонний, но построить его именно как производный функтор от чего-либо с ходу не получается. В то же время, тензорная структура, насколько я вижу, налицо.

Теорема. Пусть А -- когерентное коммутативное кольцо, над которым всякий fp-инъективный модуль имеет конечную инъективную размерность (для этого достаточно, скажем, чтобы всякий идеал в A допускал не более, чем счетное множество образующих). Пусть D_A -- дуализирующий комплекс для A, т.е., конечный комплекс fp-инъективных A-модулей с конечно представимыми A-модулями когомологий, такой что отображение гомотетии A → Hom_D(A-mod)(D_A,D_A[*]) -- изоморфизм.

Пусть A → R -- гомоморфизм коммутативных колец, превращающий R в плоский A-модуль. Тогда на полукопроизводной категории R-модулей относительно A, D^sico_A(R-mod), имеется структура тензорной триангулированной категории с единичным объектом R ⊗_A D_A.

Доказательство: согласно результатам упомянутого препринта, выбор дуализирующего комплекса D_A индуцирует эквивалентность между полукопроизводной категорией R-модулей относительно A и их полуконтрапроизводной категорией D^sictr_A(R-mod), причем последняя эквивалентна факторкатегории гомотопической категории комплексов A-плоских R-модулей по толстой подкатегории комплексов, абсолютно ацикличных как комплексы плоских A-модулей. Одночленному комплексу плоских A-модулей R соответствует при этой эквивалентности объект полукопроизводной категории R ⊗_A D_A.

Остается построить тензорную структуру с единичным объектом R на факторкатегории гомотопической категории комплексов A-плоских R-модулей по абсолютно ацикличным в точной категории плоских A-модулей комплексам. Будем называть, для краткости, эту категорию "полупроизводной категорией A-плоских R-модулей". Утверждается, что здесь применима обычная конструкция (уже одностороннего по факту в данном случае -- левого -- но, вообще говоря, и двустороннего) производного функтора двух аргументов (в роли которого используется функтор тензорного произведения комплексов R-модулей).

Аналогичным образом, мы хотим построить также функтор тензорного произведения объектов полупроизводной категории A-плоских R-модулей с объектами полукопроизводной категории R-модулей относительно A, принимающий значения в полукопроизводной категории R-модулей относительно A. Эквивалентность между полупроизводной категорией A-плоских R-модулей и полукопроизводной категорией R-модулей относительно A, упомянутая в первом абзаце этого доказательства, будет преобразовывать это тензорное произведение в ту же самую тензорную структуру на полукопроизводной категории.

Будем называть комплекс A-плоских R-модулей F относительно гомотопически R-плоским, если для любого A-коацикличного комплекса R-модулей N комплекс R-модулей F ⊗_R N ацикличен (просто как комплекс абелевых групп). Для построения тензорной структуры на полупроизводной категории A-плоских R-модулей достаточно показать, что для любого комплекса A-плоских R-модулей M найдется относительно гомотопически R-плоский комплекс A-плоских R-модулей F вместе с морфизмом комплексов R-модулей F → M, конус которого абсолютно ацикличен как комплекс плоских A-модулей. (На самом деле, в нашей конструкции конус будет даже A-стягиваем.)

Заметим, что полная подкатегория относительно гомотопически R-плоских комплексов A-плоских R-модулей в гомотопической категории комплексов A-плоских R-модулей замкнута относительно сдвигов, конусов, и бесконечных прямых сумм (а следовательно, и гомотопических прямых пределов последовательностей). Кроме того, эта подкатегория содержит все комплексы R-модулей, индуцированные с комплексов плоских A-модулей. Теперь для любого комплекса A-плоских R-модулей M рассмотрим бар-комплекс

… → R⊗_AR⊗_AR⊗_AM → R⊗_AR⊗_AM → R⊗_AM.

Построим тотальный комплекс этого бикомплекса с помощью взятия бесконечных прямых сумм вдоль диагоналей. С одной стороны, этот тотальный комплекс гомотопически эквивалентен гомотопическому прямому пределу своих конечных отрезков (глупой фильтрации), так что он является относительно гомотопически R-плоским ввиду сказанного выше. С другой стороны, конус естественного морфизма из этого тотального комплекса в комплекс M стягиваем A-линейной бар-гомотопией.

Чтобы построить обещанное тензорное произведение объектов полупроизводной категории A-плоских R-модулей с объектами полукопроизводной категории R-модулей относительно A, нам понадобится еще одно определение. Будем называть комплекс R-модулей G гомотопически R/A-плоским, если комплекс M ⊗_R G ацикличен для всякого комплекса A-плоских R-модулей M, абсолютно ацикличного в точной категории плоских A-модулей. Утверждается, что для всякого комплекса R-модулей N найдется гомотопически R/A-плоский комплекс R-модулей G вместе с морфизмом комплексов R-модулей G → N, конус которого коацикличен (и на самом деле даже стягиваем) как комплекс A-модулей.

Доказательство аналогично предыдущему. Нужно заметить, что класс гомотопически R/A-плоских комплексов R-модулей замкнут относительно сдвигов, конусов и бесконечных прямых сумм в гомотопической категории комплексов R-модулей. Далее, в этом классе содержатся все комплексы R-модулей, индуцированные с комплексов А-модулей. Оставшаяся часть рассуждения основана на таком же использовании бар-конструкции, как продемонстрировано выше.

См. также http://posic.livejournal.com/944604.html