Разрозненные заметки по MGM-двойственности - 2

Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/1167741.html

Абелева группа P с аддитивным оператором s: P → P называется s-контрамодулем, если для любой последовательности элементов p₀, p₁, p₂, ... ∈ P существует единственная последовательность элементов q₀, q₁, q₂, ... ∈ P, удовлетворяющая системе уравнений q_n = sq_n+1 + p_n для всех n ≥ 0. Модуль P над кольцом R c выбранным элементом s ∈ R называется s-контрамодулем, если P является контрамодулем по отношению к оператору умножения на s.

Пусть R -- коммутативное кольцо, I -- идеал в R, и s_j -- множество образующих идеала I ⊂ R. Тогда свойство R-модуля P быть контрамодулем по отношению ко всем элементам s_j ∈ R не зависит от выбора набора образующих идеала I, а только от самого идеала. В самом деле, это утверждение достаточно проверять для подколец кольца R, конечно-порожденных над Z, а для нетеровых колец оно следует из основной теоремы приложения B к препринту "Weakly curved A-infinity algebras ..." R-модули, удовлетворяющие этому условию, мы будем называть I-контрамодулями. Полная подкатегория I-контрамодулей R-mod_I-contra ⊂ R-mod замкнута относительно ядер, коядер и бесконечных произведений в R-mod, и следовательно, является абелевой категорией (ср. раздел С.2 препринта "Contraherent cosheaves").

Лемма 2. Предположим, что идеал I ⊂ R конечно-порожден. Тогда функтор вложения R-mod_I-contra → R-mod имеет левый сопряженный функтор Δ_I: R-mod → R-mod_I-contra.

Доказательство: мы предъявим явную конструкцию функтора Δ_I. Рассмотрим сначала случай идеала I, порожденного одним элементом s. Сопоставим всякому R-модулю M морфизм R-модулей φ_M,s: ∏_n≥1M → ∏_n≥0M, переводящий каждую последовательность элементов r₁, r₂, ... ∈ M в последовательность элементов m₀ = −sr₁, m₁ = r₁ − sr₂, ... Обозначим через Δ_s(M) коядро морфизма φ_M,s.

Покажем прежде всего, что R-модуль Δ_s(M) является s-контрамодулем. Утверждение зависит только от структуры Z[s]-модуля на M, так что можно считать, что R = Z[s]. Для любой абелевой группы A, рассмотрим Z[s]-модуль A[s] многочленов по s с коэффициентами из A. Нетрудно посчитать руками, что Δ_s(A[s]) = A[[s]]; изоморфизм устанавливается отображением, переводящим последовательность многочленов m₀, m₁, m₂, ... в степенной ряд ∑_n=0^∞ sⁿm_n(s). Ясно, что всякий Z[s]-модуль является коядром морфизма модулей вида A[s], функтор Δ_s коммутирует с коядрами, и модули вида A[[s]] являются s-контрамодулями. Поскольку класс s-контрамодулей замкнут относительно коядер, утверждение доказано.

Теперь покажем, что для любого R-модуля P, являющегося s-контрамодулем, группа Hom_R(Δ_s(M),P) естественно изоморфна группе Hom_R(M,P). Естественное отображение M → Δ_s(M) для любого R-модуля M индуцировано вложением M → ∏_n≥0M, отображащим каждый элемент m ∈ M в последовательность m₀ = m, m₁ = m₂ = ... = 0. Для любого s-контрамодуля P, всякое R-линейное отображение f: M → P распространяется до R-линейного отображения g: Δ_s(M) → P по правилу g(m₀,m₁,m₂,...) = ∑_n=0^∞ sⁿf(m_n), где операция бесконечного суммирования в s-контрамодулях строится, как объяснено в приложении B к "Weakly curved ..."

Осталось проверить, что существует только одно R-линейное отображение Δ_s(M) → P, композиция которого с естественным отображением M → Δ_s(M) равна фиксированному R-линейному отображению f: M → P. В самом деле, пусть m₀, m₁, m₂, ... -- какая-то последовательность элементов M. Пусть h -- какое-то R-линейное отображение Δ_s(M) → P. Положим q_n = h(m_n,m_n+1,m_n+2,...) ∈ P для каждого n≥0. Отображение φ_M,s переводит последовательность элементов (r₁,r₂,...) = (m_n+1,m_n+2,...) в последовательность (0,m_n+1,m_n+2,...) − s(m_n+1,m_n+2,...), так что элементы q_n и f(m_n) ∈ P удовлетворяют системе уравнений q_n − f(m_n) = sq_n+1. По определению s-контрамодуля, последовательность элементов q_n однозначно определяется последовательностью элементов f(m_n).

Обещанный функтор Δ_I = Δ_s для идеала I, порожденного одним элементом s, построен. Чтобы получить функтор Δ_I для идеала, порожденного любым конечным множеством элементов s_j, заметим, что для любых элементов s и t ∈ R функтор Δ_s: R-mod → R-mod_s-contra ⊂ R-mod отображает полную подкатегорию R-mod_t-contra ⊂ R-mod в R-mod_t-contra, поскольку класс t-контрамодулей замкнут относительно коядер и бесконечных произведений. Отсюда ясно, что ограничение функтора Δ_s на полную подкатегорию R-mod_t-contra доставляет функтор R-mod_t-contra → R-mod_s,t-contra, сопряженный слева к вложению полной подкатегории R-mod_s,t-contra → R-mod_t-contra. Следовательно, композиция функторов Δ_sj по всем образующим s_j идеала I является искомым функтором Δ_I: R-mod → R-mod_I-contra, сопряженным слева к функтору вложения R-mod_I-contra → R-mod.